Question

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE交AD于点F，连接BD．若cos∠BAC=

4

5

，求

OF

BD

的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD，构建等腰△AOD，然后结合已知条件∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE可得结论．
（2）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=4x，则AH=9x，DH=3x，由△AOF∽△ADB推出结果．

解答：（1）证明：如图，连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC．
∴OD∥AE．
又∵AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE是的⊙O切线．

（2）∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
如图，过D作DH⊥AB于H．
由（1）知，OD∥AE，
∴∠DOH=∠BAC，
∴cos∠DOH=cos∠BAC，即

OH

OD

=

AC

AB

=

4

5

．
设OD=5x，则AB=10x，OH=4x，
∴AH=9x，DH=3x，
∴AD=

AH2+DH2

=3

10

x，
由△AOF∽△ADB可得

OF

DB

=

AO

AD

，即

OF

DB

=

5x

3 10 x

=

10

6

．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质．解题过程中，辅助线的作法是解题关键，本题是难题．