Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC上一点，且∠CAD=∠B．
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：（1）本小题易证△CAD∽△CBA利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出线段CD的长；
（2）过D作DE⊥AB，由（1）可知CD的长，利用勾股定理可求出AD的长，根据三角形的面积公式可求出DE，进而求出sin∠BAD的值．

解答：解：（1）∵∠C=∠C=90°，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
∵AC=4，BC=6，
∴

CD

4

=

4

6

，
∴CD=

8

3

，

（2）过D作DE⊥AB，
∵AC=4，CD=

8

3

，
∴AD=

AC2+CD2

=

4 13

3

，
∵S_△ACD=

1

2

•AC•CD=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

，S_△ACB=

1

2

×AC•BC=12，
∴S_△ADB=12-

16

3

=

20

3

，
∵AB=

AC2+BC2

=

52

=2

13

，
∴

20

3

=

1

2

×DE×AB，
∴DE=

40

6 13

=

20 13

39

，
∴sin∠BAD=

DE

AD

=

20 13 39

4 13 3

=

5

13

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式运用和锐角三角函数的定义，解题的关键是求出三角形ADB的面积进而求出高线．