Question

【题目】如图，在边长为正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接.

（1）如图1，过点作交于点，连接交于点.

①求证：;

②设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②；（2）见解析

【解析】

（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；

②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.

（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.

（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，

又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），

∴EB=ED，∠CBE=∠1，

∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，

∴∠EBC+∠EFC=180°，

∵∠EFC+∠2=180°，

∴∠EBC=∠2，

∴∠1=∠2.

∴ED=EF，

∴BE=EF.

②解：∵正方形ABCD的边长为，∴对角线AC=2.

将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，

则△BAE≌△BCP，

∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，

由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，

在△PBG与△EBG中，，

∴△PBG≌△EBG（SAS）.

∴PG=EG=2－x－y，

∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，

∴在Rt△PCG中，由，得，

化简，得.

（2）如图3，作法如下：

①延长交AD于点M，

②连接MO并延长交BC于点N，

③连接DN交AC于点Q，

④连接DE、BQ，

则四边形BEDQ为菱形.