【题目】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点.
(1)写出点A、点B的坐标;
(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在t,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(8,0)、B(0,4);(2)S=﹣8t2+32t+32,S最大值为64.(3)存在符合条件的点P,坐标为(3,10).
【解析】试题分析:(1)抛物线的解析式中,令x=0,能确定点B的坐标;令y=0,能确定点A的坐标.(2)四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分;△ABC的面积是定值,关键是求出△PBA的面积表达式;若设直线l与直线AB的交点为Q,先用t表示出线段PQ的长,而△PAB的面积可由(PQOA)求得,在求出S、t的函数关系式后,由函数的性质可求得S的最大值.(3)△PAM中,∠APM是锐角,而PM∥y轴,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一种可能,即 直线AP、直线AC垂直,此时两直线的斜率乘积为-1,先求出直线AC的解析式,联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标.
试题解析:
(1)抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中:令x=0,y=4,则 B(0,4);
令y=0,0=﹣0.5x2+3.5x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,则 A(8,0);∴A(8,0)、B(0,4).
(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4,∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直线AB:y=﹣0.5x+4;
依题意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴当t=2时,S有最大值,且最大值为64.
(3)∵PM∥y轴,∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是锐角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°;
由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直线AC:y=0.5x﹣4;
所以,直线AP可设为:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:﹣16+h=0,h=16
∴直线AP:y=﹣2x+16,联立抛物线的解析式,∴存在符合条件的点P,且坐标为(3,10).
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【题目】如图,直线l:y=x﹣ 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点,抛物线y=x2+bx+c经过点B(﹣1,0)和点C.
(1)填空:直接写出抛物线的解析式:_____;
(2)已知点Q是抛物线y=x2+bx+c在第四象限内的一个动点.
①如图,连接AQ、CQ,设点Q的横坐标为t,△AQC的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
②连接BQ交AC于点D,连接BC,以BD为直径作⊙I,分别交BC、AB于点E、F,连接EF,求线段EF的最小值,并直接写出此时Q点的坐标.
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【题目】A、B两站相距960公里,一列慢车从A站开出,每小时行驶120公里,一列快车从B站开出,每小时行驶200公里.慢车先行1小时,快车再开,两车相向而行,慢车多少小时后两车相距200公里?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在不透明的袋子中装有2个黑球和3个红球,这些球只有颜色不同,随机从袋子中摸出三个球,下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个球是红球
B.摸出的三个球中至少有两个球是黑球
C.摸出的三个球中至少有一个球是黑球
D.摸出的三个球中至少有两个球是红球
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解学生参加体育活动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”,共有4个选项:A 1.5小时以上;B 1~1.5小时;C 0.5~1小时;D 0.5小时以下.图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:
(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)在图1中将选项B的部分补充完整;
(3)若该校有3000名学生,你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
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