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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点.

(1)写出点A、点B的坐标;

(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;

(3)在(2)的条件下,是否存在t,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(8,0)、B(0,4);(2)S=﹣8t2+32t+32,S最大值为64.(3)存在符合条件的点P,坐标为(3,10).

【解析】试题分析:1)抛物线的解析式中,令x=0,能确定点B的坐标;令y=0,能确定点A的坐标.(2)四边形PBCA可看作△ABC△PBA两部分;△ABC的面积是定值,关键是求出△PBA的面积表达式;若设直线l与直线AB的交点为Q,先用t表示出线段PQ的长,而△PAB的面积可由(PQOA)求得,在求出St的函数关系式后,由函数的性质可求得S的最大值.(3△PAM中,∠APM是锐角,而PM∥y轴,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一种可能,即 直线AP、直线AC垂直,此时两直线的斜率乘积为-1,先求出直线AC的解析式,联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标.

试题解析:

1)抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中:令x=0y=4,则 B04);

y=00=﹣0.5x2+3.5x+4,解得 x1=﹣1x2=8,则 A80);∴A80)、B04).

2△ABC中,AB=ACAO⊥BC,则OB=OC=4∴C0﹣4).

A80)、B04),得:直线ABy=﹣0.5x+4

依题意,知:OE=2t,即 E2t0);

∴P2t﹣2t2+7t+4)、Q2t﹣t+4),PQ=﹣2t2+7t+4﹣t+4=﹣2t2+8t

S=SABC+SPAB=0.5×8×8+0.5×﹣2t2+8t×8=﹣8t2+32t+32=﹣8t﹣22+64

t=2时,S有最大值,且最大值为64

3∵PM∥y轴,∴∠AMP=∠ACO90°

∠APM是锐角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°

由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直线AC:y=0.5x﹣4;

所以,直线AP可设为:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:﹣16+h=0,h=16

∴直线AP:y=﹣2x+16,联立抛物线的解析式,∴存在符合条件的点P,且坐标为(3,10).

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②连接BQ交AC于点D,连接BC,以BD为直径作⊙I,分别交BC、AB于点E、F,连接EF,求线段EF的最小值,并直接写出此时Q点的坐标.

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