【题目】阅读下面材料:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)两点.
观察图象可知:
①当x=﹣3或1时,y1=y2;
②当﹣3<x<0或x>1时,y1>y2,即通过观察函数的图象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有这样一个问题:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集进行了探究.
下面是他的探究过程,请将(2)、(3)、(4)补充完整:
(1)将不等式按条件进行转化:
当x=0时,原不等式不成立;
当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x﹣1>;
当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x﹣1<;
(2)构造函数,画出图象
设y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.
双曲线y4=如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足y3=y4的所有x的值为 ;
(4)借助图象,写出解集
结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集为 .
【答案】(2)图见试题解析;(3)±1和﹣4;(4)x>1或﹣4<x<﹣1.
【解析】试题分析:(2)首先确定二次函数的对称轴,然后确定两个点即可作出二次函数的图象;
(3)根据图象即可直接求解;
(4)根据已知不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即当x>0时,x2+4x﹣1>,;当x<0时,x2+4x﹣1<,根据图象即可直接写出答案.
试题解析:(2)
;
(3)两个函数图象公共点的横坐标是±1和﹣4.
则满足y3=y4的所有x的值为±1和﹣4.
故答案是:±1和﹣4;
(4)不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即当x>0时,x2+4x﹣1>,此时x的范围是:x>1;
当x<0时,x2+4x﹣1<,则﹣4<x<﹣1.
故答案是:x>1或﹣4<x<﹣1.
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【题目】某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
(进价、售价均保持不变,利润 = 销售收入-进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3;…如此进行下去,得到Cn,若点P(2017,m)在抛物线Cn上,则m为( )
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
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【题目】(1)如图(1),在△ABC中,∠A=62°,∠ABD=20°,∠ACD=35°,求∠BDC的度数.
(2)图(1)所示的图形中,有点像我们常见的学习用品--圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,观察“规形图”图(2),试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由.
(3)请你直接利用以上结论,解决以下问题:
①如图(3),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=42°,则∠ABX+∠ACX= °.
②如图(4),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=60°,∠DBE=140°,求∠DCE的度数.
③如图(5),∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=68°,求∠A的度数.
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【题目】如图,点A的坐标为(3,2),点B的坐标为(3,0).作如下操作:
(1)以点A为旋转中心,将△ABO顺时针方向旋转90°,得到△AB1O1;
(2)以点O为位似中心,将△ABO放大,得到△A2B2O,使位似比为1:2,且点A2在第三象限.
①在图中画出△AB1O1和△A2B2O;
②请直接写出点A2的坐标: .
③如果△ABO内部一点M的坐标为(m,n),写出点M在△A2B2O内的对应点N的坐标: .
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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=,AD=4,在BC边上取点E,使BE=AB,将△ABE向左平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD.
(1)求证:四边形AEFD是菱形;
(2)如图2,将△DCF绕点D旋转至△DGA,连接GE,求线段GE的长;
(3)如图3,设P、Q分别是EF、AE上的两点,且∠PDQ=67.5°,试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】已知:在△ABC和△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,AC=DC,BC=EC,AB与DE相交于点F.
(1)如图1,求证AB=DE;
(2)如图2,连接CF,求证∠AFC=∠EFC;
(3)如图3,在(2)的条件下,当AF=EF时,连接BD,AE,延长CF交BD于点G,AE交CF于点H,若AE=8,BG=2,求线段GH的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE, 交 AC于点F.
(1)如图①,当时,求的值;
(2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=OA;
(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.
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