Question

如图，直角坐标系中，以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．
（1）直接写出C、M两点的坐标．
（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由．
（3）在x轴上是否存在一点Q，使△QMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-2，0），B（8，0），
∴AB=10．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10）．
连MP，PC；
在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）．

（2）CM与⊙P相切．
理由：Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100．
∵100+25=125，
∴△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM与⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周长最小，即要使MQ+QC最小．
故作M关于x轴对称点M’，连CM’交x轴于点Q，连MQ，此时，△QMC周长最小．
∵C（8，10），M'（0，-4），
设直线CM'：y=kx+b（k≠0）

∴


∴．
∴Q（，0）．
∵x轴垂直平分MM’，
∴QM=QM'，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．
△CEM'中，CE=8，EM'=14
∴
∴△QMC周长最小值为．
∴存在符合题意的点Q，且
此时△QMC周长最小值为．
分析：（1）因为ABCD为正方形，且边长为10，所以易得C点坐标；连接PM，根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标．
（2）根据CM、PM、PC的长判定△PCM为直角三角形，得∠PMC=90°，从而判断相切．或证△PCM≌△PCB得证．
（3）因CM长度固定，要使△QMC周长最小，只需PM+PC最小．作M关于x轴的对称点M′，连接CM′，交x轴于Q点，根据对称性及两点之间线段最短说明存在Q点．
点评：此题考查了坐标系内求点的坐标、切线的判定、利用作图求最小值等知识点，综合性很强，难度较大．