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【题目】如图,AB⊙O的弦,D为半径OA的中点,过DCD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且BC⊙O的切线.

(1)求证:CE=CB;

(2)连接AF,BF,求∠ABF的正弦值;

(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.

【答案】(1)详见解析;(2)∠ABF的正弦值是;(3)⊙O的半径是

【解析】

(1)连接OB,由圆的半径相等和切线的性质可得∠AED=CBE,即可证明CE=CB

(2)连接OFAFBF,可证OAF是等边三角形,再利用圆周角定理可得∠ABF=30°,即可得出结论;

(3)过点CCGBE于点G,由CE=CB,可得EG=BE=5,再由RtADERtCGE和勾股定理即可得出结论.

(1)证明:连接OB如图,

OA=OB

∴∠DAE=OBA

BC切⊙OB

∴∠OBC=90°,

∴∠OBA+CBE=90°,

DCOA

∴∠ADE=90°,

∴∠DAE+AED=90°,

∴∠AED=CBE=CEB

CE=CB

(2)解:连接OFAFBF如图,

DA=DOCDOA

AF=OF

OA=OF

∴△OAF是等边三角形,

∴∠AOF=60°,

∴∠ABF=AOF=30°,

即∠ABF的正弦值是

(3)过点CCGBE于点G,由CE=CB如图

EG=BE=5,
RtADERtCGE
sinECG=sinA=


又∵CD=15,CE=13,
DE=2,
RtADERtCGE


,∴⊙O的半径为

练习册系列答案
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【题目】等腰RtABC中,BAC90°ABAC,A、点B分别是y轴、x轴上两个动点,直角边ACx轴于点D,斜边BCy轴于点E

1)如图(1),已知C点的横坐标为-1,直接写出点A的坐标;

2)如图(2), 当等腰RtABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:ADBCDE

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①a=1;②若函数yx的增大而减小,则x的取值范围一定是x<0;

若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解,则k的取值范围是k>1;

M(m1,n),N(m2,n),P(m3,n),Q(m4,n)(n>0)是上述函数图象的四个不同点,且m1<m2<m3<m4,则有m2+m3﹣m1=m4.其中正确的结论有(  )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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1)求AB两点的坐标;

2)若点DAB中点,延长DEx轴于点F,在ED的延长线上取点G,使DG=DF,连接BG

BGy轴的位置关系怎样?说明理由; ②求OF的长;

3)如图2,若点F的坐标为(1010),Ey轴的正半轴上一动点,P是直线AB上一点,且P的横坐标为6,是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.

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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+cx轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;-1≤a≤-③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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2)如图2,在ABC中,∠A=80°AB=AC,求作ABC的所有巧妙点P (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并直接写出∠BPC的度数是 .

3)等边三角形的巧妙点的个数有(

A.2 B.6 C.10 D.12

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