【题目】如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且BC是⊙O的切线.
(1)求证:CE=CB;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的正弦值;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
【答案】(1)详见解析;(2)∠ABF的正弦值是;(3)⊙O的半径是.
【解析】
(1)连接OB,由圆的半径相等和切线的性质可得∠AED=∠CBE,即可证明CE=CB;
(2)连接OF,AF,BF,可证△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理可得∠ABF=30°,即可得出结论;
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可得EG=BE=5,再由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理即可得出结论.
(1)证明:连接OB,如图,
∵OA=OB,
∴∠DAE=∠OBA,
∵BC切⊙O于B,
∴∠OBC=90°,
∴∠OBA+∠CBE=90°,
∵DC⊥OA,
∴∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠CBE=∠CEB,
∴CE=CB;
(2)解:连接OF,AF,BF,如图,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴AF=OF,
∵OA=OF,
∴△OAF是等边三角形,
∴∠AOF=60°,
∴∠ABF=∠AOF=30°,
即∠ABF的正弦值是;
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,如图
∴EG=BE=5,
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴,
∴,
又∵CD=15,CE=13,
∴DE=2,
∵Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴,
∴,∴⊙O的半径为.
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【题目】等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;
(1)如图(1),已知C点的横坐标为-1,直接写出点A的坐标;
(2)如图(2), 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:∠ADB=∠CDE;
(3)如图(3), 若点A在x轴上,且A(-4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连结CD交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否变化?若变化请说明理由,若不变化,请求出BP的长度.
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【题目】如图中实线所示,函数y=|a(x﹣1)2﹣1|的图象经过原点,小明同学研究得出下面结论:
①a=1;②若函数y随x的增大而减小,则x的取值范围一定是x<0;
③若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解,则k的取值范围是k>1;
④若M(m1,n),N(m2,n),P(m3,n),Q(m4,n)(n>0)是上述函数图象的四个不同点,且m1<m2<m3<m4,则有m2+m3﹣m1=m4.其中正确的结论有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若点D为AB中点,延长DE交x轴于点F,在ED的延长线上取点G,使DG=DF,连接BG.
①BG与y轴的位置关系怎样?说明理由; ②求OF的长;
(3)如图2,若点F的坐标为(10,10),E是y轴的正半轴上一动点,P是直线AB上一点,且P的横坐标为6,是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在同一平面内,若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形,则称点P是△ABC的巧妙点.
(1)如图1,求作△ABC的巧妙点P(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图2,在△ABC中,∠A=80°,AB=AC,求作△ABC的所有巧妙点P (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并直接写出∠BPC的度数是 .
(3)等边三角形的巧妙点的个数有( )
A.2 B.6 C.10 D.12
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【题目】如图,点在轴上,,,,将绕点按顺时针方向旋转得到,则点的坐标是( )
A. (2,-2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (2,2)
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【题目】△在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出△关于轴对称的△,并写出△各顶点的坐标;
(2)将△向右平移6个单位,作出平移后的△,并写出△各顶点的坐标;
(3)观察△和△,它们是否关于某直线对称?若是,请用粗线条画出对称轴.
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