Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB项点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，三角形CPQ的面积为S米²．

（1）求面积S与时间t的关系式；

（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

（3）t为何值时，三角形CPQ为直角三角形．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）过点P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的长，AP=2t，CQ=t，则PC=10﹣2t，又PE∥AB，根据平行线分线段成比例列出比例式即可得出PE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；

（2）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则S_△PCQ=S_△ABC，再判断出方程根的情况即可；

（3）分∠PQC=90°与∠CPQ=90°两种情况进行讨论即可．

【解答】解：（1）如图1，过点P作PE⊥BC于E，Rt△ABC中，AC===10（m）．

由题意知：AP=2t，CQ=t，则PC=10﹣2t．                        

由AB⊥BC，PE⊥BC，得PE∥AB，

∴=，即=

∴PE=（10﹣2t）=﹣t+6，

∴S_△PCQ=CQ•PE=t•（﹣t+6）=﹣t²+3t（0＜t＜5）；

（2）不能．

理由：∵假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，

∴S_△PCQ=S_△ABC，即﹣t²+3t=×6×8，整理得，t²﹣5t+40=0．

∵△=（﹣5）²﹣160=﹣135＜0，

∴t无解，

∴边形ABQP与△CPQ的面积不能相等；

（3）如图2，当∠PQC=90°时，PQ⊥BC，

∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10﹣2t，

∴△PQC∽△ABC，

∴=，即=，解得t=（秒）；

如图3，当∠CPQ=90°时，PQ⊥AC，

∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，

∴△CPQ∽△CBA，

∴=，即=，解得t=（秒）．

综上所述，t为秒与秒时，△CPQ为直角三角形．

【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到矩形的性质、勾股定理、根的判别式、三角形的面积公式及平行线分线段成比例等知识，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（3）时要注意分类讨论．