Question

如图，已知△ABC为等边三角形，∠ADE=60°，CE为外角角平分线，求证：△ADE为等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过D作DG∥AC交AB于G，得出∠ADG=∠DEC，再利用AAS得出△AGD≌△DCE，进而得出答案

解答：证明：过D作DG∥AC交AB于G，
则∠DAC=∠ADG，∠BGD=∠BAC=60°，
∴∠AGD=120°，
∵∠B=60°，
∴△GDB为等边三角形，
∴BG=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACF=120°，AB=BC，
∴AG=DC，
∵CE平分∠ACE，
∴∠ACE=∠ECF=60°，
∴∠DCE=120°，
∴∠AGD=∠DCE，
∵∠AMD=∠EMC，
∵∠ADE=60°=∠ACE，
∴∠DAC=∠DEC=∠ADG，
在△AGD和△DCE中，

∠ADG=∠DEC ∠AGD=∠DCE AG=CD

，
∴△AGD≌△DCE（AAS），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，正确得出辅助线是解题关键．