Question

17．如图，正方形ABCD内有一点P，连接AP，BP，CP，若AP=1，BP=2，CP=3．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得∠ABC=90°，BA=BC，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°可得△BCE，如图，连结PE，根据旋转的性质得BP=BE=2，CE=AP=1，∠PBE=90°，∠CEB=∠APB，于是可判断△BPE为等腰直角三角形，得到PE=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$，∠BEP=45°，接着利用勾股定理的逆定理可证明△PEC为直角三角形，∠PEC=90°，于是可得∠CEP=135°，则∠APB=135°；
（2）作BH⊥CE于点H，如图，利用BH∥PE得到∠EBH=∠PEB=45°，则BH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\sqrt{2}$，然后在Rt△CBH中利用勾股定理得到BC²=5+2$\sqrt{2}$，再根据正方形的面积公式得正方形ABCD的面积为5+2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，BA=BC，
∴△BAP绕点B顺时针旋转90°可得△BCE，如图，
连结PE，则BP=BE=2，CE=AP=1，∠PBE=90°，∠CEB=∠APB，
∴△BPE为等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$，∠BEP=45°，
在△PEC中，∵PC=3，CE=1，PE=2$\sqrt{2}$
∴CE²+PE²=CP²，
∴△PEC为直角三角形，∠PEC=90°，
∴∠CEP=90°+45°=135°，
∴∠APB=135°；
（2）作BH⊥CE于点H，如图，
∵∠PEC=90°，
∴BH∥PE，
∴∠EBH=∠PEB=45°，
∴BH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\sqrt{2}$，
在Rt△CBH中，∵BH=$\sqrt{2}$，CH=CE+EH=$\sqrt{2}$+1，
∴BC²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$+1）²=5+2$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的面积为5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．