Question

8．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A₁、B₁、C₁、D₁，使AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=$\frac{1}{3}$a，在边A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁上分别取点A₂、B₂、C₂、D₂，使A₁A₂=B₁B₂=C₁C₂=D₁D₂=$\frac{1}{3}$A₁B₂，…．依次规律继续下去，则正方形A_nB_nC_nD_n的面积为$\frac{{5}^{n}}{{9}^{n}}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 首先在Rt△A₁BB₁中，由勾股定理可求得正方形A₁B₁C₁D₁的面积=$\frac{5}{9}{a}^{2}$，然后再在Rt△A₂B₁B₂中，由勾股定理求得正方形A₂B₂C₂D₂的面积=$（\frac{5}{9}）^{2}{a}^{2}$，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．

解答 解：在Rt△A₁BB₁中，由勾股定理可知；${A}_{1}{{B}_{1}}^{2}={A}_{1}{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}$=$（\frac{2}{3}a）^{2}+（\frac{1}{3}a）^{2}$=$\frac{5}{9}{a}^{2}$，即正方形A₁B₁C₁D₁的面积=$\frac{5}{9}{a}^{2}$；
在Rt△A₂B₁B₂中，由勾股定理可知：${A}_{2}{{B}_{2}}^{2}={A}_{2}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{2}{{B}_{1}}^{2}$=$（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}a）^{2}+（\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}a）^{2}$=$（\frac{5}{9}）^{2}{a}^{2}$；即正方形A₂B₂C₂D₂的面积=$（\frac{5}{9}）^{2}{a}^{2}$
…
∴正方形A_nB_nC_nD_n的面积=$（\frac{5}{9}）^{n}{a}^{2}=\frac{{5}^{n}}{{9}^{n}}{a}^{2}$．
故答案为：$\frac{{5}^{n}}{{9}^{n}}{a}^{2}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．