Question

如图，抛物线y=x²+mx+n过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连接CO、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，得，解得，
所以，抛物线解析式为y=x²-x，把y=2代入，得x₁=4，x₂=-1，
所以，C（-1，2）；

（2）点E落在抛物线上．理由如下：
∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
由旋转、轴对称的性质知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
∴点E点的坐标为（2，-1），
当x=2时，，∴点E落在抛物线上；

（3）存在点P（a，0）．如图记S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，
S_梯形AOCD=（AO+CD）×2=3+5=8，
当PQ经过点F（2，0）时，易求S₁=5，S₂=3，此时S₁：S₂不符合条件，故a≠3．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），将E（2，-1），P（a，0）代入，
得，解得，
∴y=x-，
由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
S₁=（3a-3+a）×2=4a-3，
下面分两种情形：①当S₁：S₂=1：3时，S₁=S_梯形AOCD=×8=2；
∴4a-3=2，解得a=；
②当S₁：S₂=3：1时，S₁=S_梯形AOCD=×8=6；
∴4a-3=6，解得a=；
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）．
分析：（1）将O（0，0），D（4，2）两点坐标代入抛物线y=x²+mx+n，列方程组求m、n的值，确定抛物线解析式，由CD∥x轴，将y=2代入抛物线解析式，可求C点坐标；
（2）由旋转、轴对称的性质，求EF，OF，确定E点坐标，把E点横坐标代入抛物线解析式求y的值，判断E点中抛物线上；
（3）设P（a，0），S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，根据直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分，分两种情况：①S₁：S₂=1：3，②S₁：S₂=3：1，根据S₁与的S_梯形AOCD关系，列方程求a的值．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，确定A、B、C、D的坐标，再根据旋转的性质确定E点坐标，通过求直线PQ解析式确定Q点坐标，从而表示直线PQ分得两部分的面积，利用列方程的方法求解．