Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，⊙P与直线l相切；
（3）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

解：（1）⊙P与x轴相切，
∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半径．
∴⊙P与x轴相切．
由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=，
∵PB=k+8，由PA=PB，得 =k+8，
解得k=-3，
∴⊙P与x轴相切；

（2）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，由PQ×AB=PB×OA，
PQ=，
当⊙P与直线l相切时，PQ=3，即==3，
解得k=3-8．

（3）设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD，
当圆心P₁在线段OB上时，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD为正三角形，
∴DE=CD=，P₁D=3．
∴P₁E=．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴，即=，
∴P₁B=，
∴P₁O=BO-BP₁=8-．
∴P₁（0，-8）．
∴k=-8．
当圆心P₂在线段OB延长线上时，
∵P₂B=，
∴P₂O=BO+BP₂=+8．
∴P₂（0，--8）．
∴k=--8．
∴当k=-8或k=--8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．
分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．
（2）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，根据△ABP的面积公式，利用面积法表示PQ，当⊙P与直线l相切时，PQ=3，列方程求k即可．
（3）根据正三角形的性质，分两种情况讨论，
①当圆心P在线段OB上时，②当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值．
点评：本题考查了一次函数图象，圆的切线的判定，相似三角形的判定及性质，等边三角形等内容，范围较广，题目较复杂．关键是由已知直线求A、B两点坐标，根据P点的坐标，由线段相等，面积法分别列方程求解．