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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣8.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.

①设△PDE的周长为m,点P的横坐标为x,当△PDE周长m最大时,求点P的坐标,并求出m的最大值;

②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG(逆时针方向作正方形APFG).随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.

【答案】(1)(2)①当x=﹣3时,最大值为15②存在点P1,2),P2,2),P3

【解析】试题分析:(1)利用直线解析式求出点A、B的坐标,再利用待定系数法求二次函数解析式解答;(2)①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD,再利用同角的余角相等求出∠DPE=BAO,根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值,然后表示出PE、DE,再根据三角形的周长公式列式整理即可得解,再根据二次函数的最值问题解答;②分(i)点Gy轴上时,过点PPHx轴于H,根据正方形的性质可得AP=AG,PAG=90°,再求出∠PAH=AGO,然后利用角角边证明APHGAO全等,根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2,然后利用二次函数解析式求解即可;(ii)点Fy轴上时,过点PMx轴于M,作PNy轴于N,根据正方形的性质可得AP=FP,APF=90°,再根据同角的余角相等求出∠APM=FPN,然后利用角边角证明APMFPN全等,根据全等三角形对应边相等可得PM=PN,从而得到点P的横坐标与纵坐标相等,再根据二次函数的解析式求解即可.

试题解析:

(1)令y=0,则x﹣=0,解得x=2,

x=﹣8时,y=×(﹣8)﹣=﹣

∴点A(2,0),B(﹣8,﹣),

把点A、B代入抛物线得,

解得

所以,该抛物线的解析式

(2)①∵点P在抛物线上,点D在直线上,

∴PD=﹣x2x+﹣(x﹣)=﹣x2x+4,

∵PE⊥AB,

∴∠DPE+∠PDE=90°,

又∵PD⊥x轴,

∴∠BAO+∠PDE=90°,

∴∠DPE=∠BAO,

∵直线解析式k=

∴sin∠BAO=,cos∠BAO=

∴PE=PDcos∠DPE=PD,

DE=PDsin∠DPE=PD,

∴△PDE的周长为m=PD+PD+PD=PD=(﹣x2x+4)=﹣x2x+

即m=﹣x2x+

∵m=﹣(x2+6x+9)+15,

∴当x=﹣3时,最大值为15;

②∵点A(2,0),

∴AO=2,

分(i)点G在y轴上时,过点P作PH⊥x轴于H,

在正方形APFG中,AP=AG,∠PAG=90°,

∵∠PAH+∠OAG=90°,∠AGO+∠OAG=90°,

∴∠PAH=∠AGO,

在△APH和△GAO中,

∴△APH≌△GAO(AAS),

∴PH=AO=2,

∴点P的纵坐标为2,

∴﹣x2x+=2,

整理得,x2+3x﹣2=0,

解得x=

∴点P1,2),P2,2);

(ii)点F在y轴上时,过点PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,

在正方形APFG中,AP=FP,∠APF=90°,

∵∠APM+∠MPF=90°,∠FPN+∠MPF=90°,

∴∠APM=∠FPN,

在△APM和△FPN中,

∴△APM≌△FPN(AAS),

∴PM=PN,

∴点P的横坐标与纵坐标相等,

∴﹣x2x+=x,

整理得,x2+7x﹣10=0,

解得x1=,x2=(舍去),

∴点P3

综上所述,存在点P1,2),P2,2),P3).

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将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2
证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b﹣a)
b2+ab=c2+a(b﹣a)
∴a2+b2=c2
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2

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