Question

如图，已知半径为1的圆的圆心为M（0，1），点B（0，2），A是x轴负半轴上的一点，D是OA的中点，AB交⊙M于点C，若四边形BCDM为平行四边形，则sin∠ABD=

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：连接BM，则平行四边形BCDM中证出DC∥OB，由BO⊥OA，DC⊥AO，结合D是AO的中点得到△ACO中AC=OC．由OB⊥x轴，因此得到△AOB是等腰直角三角形，故AO=OB=2．作DN⊥AB于N点，则△DNA是等腰直角三角形，且AD=1算出DN=

2

2

，在Rt△OBD中算出BD=

5

，从而可得Rt△BND中，sin∠ABD=

DN

BD

=

10

10

．

解答：解：连接OC，则
∵OB是⊙O的直径，∴∠OCB=90°，
∵四边形BCDM是平行四边形，
∴DC∥OB，
又∵BO⊥OA，
∴DC⊥AO，
∵D是AO的中点，
∴DC是△ACO的中线，
由此可得△ACO是等腰三角形，即AC=OC，
∵∠OCB=90°，
∴∠COA=∠A=45°，
因此得到Rt△AOB是等腰直角三角形，故AO=OB=2．
作DN⊥AB于N点，则△DNA是等腰直角三角形，且AD=1
∴DN=

2

2

∵Rt△OBD中，OB=2，OD=1，
∴BD=

OB2+OD2

=

22+12

=

5

，
故Rt△BND中，sin∠ABD=

DN

BD

=

10

10

．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，圆的性质，等腰三角形的性质以及三角函数的判定．