Question

16．如图1，抛物线y=ax²+bx经过点A（3，3）和B（2，0），其顶点为C，AC与x轴交于点D
（1）求a，b的值；
（2）点P为线段OA上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线与点H，如图2
①当线段PH最长时，求点P的坐标和PH的最大值；
②如图3，点E为AC的中点，若将△CPE沿PE折叠后得△C′PE，△C′PE与△CPA重叠部分的面积是△CPA面积的$\frac{1}{4}$，求AP的长．
Φ

Answer 1

分析 （1）把点A（3，3）和B（2，0）分别代入y=ax²+bx即可求出a、b的值；
（2）①设AO的解析式为y=kx，把A（3，3）代入解析式得到OA：y=x，设P（p，p），H（p，p²-2p），0＜p＜3，可得，PH=p-（p²-2p）=-p²+3p=-（p-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，据此即可求出PH取最大值$\frac{9}{4}$；②求出Q、P的坐标，求出PQ的方程为：$\frac{y-2}{p-2}$=$\frac{x-\frac{5}{2}}{p-\frac{5}{2}}$，即2（p-2）x-（2p-5）y-p=0，E与PQ的距离u=$\frac{|4（p-2）-（2p-5）-p|}{\sqrt{（2p-4）^{2}+（2p-5）^{2}}}$=$\frac{|p-3|}{\sqrt{8{p}^{2}-36p+41}}$；PC的方程为：$\frac{y+1}{p+1}$=$\frac{x-1}{p-1}$，（p+1）x-（p-1）y-2p=0，E与PQ的距离v=$\frac{\left|2（p+1）\right|-（p-1）-2p|}{\sqrt{（p+1）^{2}+（p-1）^{2}}}$=$\frac{|p-3|}{\sqrt{2{p}^{2}+2}}$，根据PE平分∠CPQ，得到u=v，8p²-36p+41=2p²+2，从而求出P的值，得到P的坐标，进而求出AP的长．

解答 解：（1）把点A（3，3）和B（2，0）分别代入y=ax²+bx得，
$\left\{\begin{array}{l}9a+3b=3\\ 4a+2b=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$．

（2）如图2，①设AO的解析式为y=kx，把A（3，3）代入解析式得，
OA：y=x，
设P（p，p），H（p，p²-2p），0＜p＜3，
PH=p-（p²-2p）=-p²+3p=-（p-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
p=$\frac{3}{2}$时，P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），PH取最大值$\frac{9}{4}$；
②由①得，y=x²-2x=x（x-2），
对称轴x=1，C（1，-1），E（2，1），
令C'P与AC的交点为Q．
△C'PQ与△CPA均含P为顶点，底都在AC上，即高相同．所以只需EQ的长为AC的$\frac{1}{4}$即可．
AC两点的横坐标之差为3-1=2，EQ两点的横坐标之差为2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，Q的横坐标为2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$
AC：设AC解析式为y=mx+n，把C（1，-1），（3，3）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}m+n=-1\\ 3m+n=3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=-3\end{array}\right.$，
可得函数解析式为y=2x-3，
∵Q（$\frac{5}{2}$，2），
令P（p，p），
PQ的方程为：$\frac{y-2}{p-2}$=$\frac{x-\frac{5}{2}}{p-\frac{5}{2}}$，即2（p-2）x-（2p-5）y-p=0，
E与PQ的距离u=$\frac{|4（p-2）-（2p-5）-p|}{\sqrt{（2p-4）^{2}+（2p-5）^{2}}}$=$\frac{|p-3|}{\sqrt{8{p}^{2}-36p+41}}$；
PC的方程为：$\frac{y+1}{p+1}$=$\frac{x-1}{p-1}$，（p+1）x-（p-1）y-2p=0，
E与PQ的距离v=$\frac{\left|2（p+1）\right|-（p-1）-2p|}{\sqrt{（p+1）^{2}+（p-1）^{2}}}$=$\frac{|p-3|}{\sqrt{2{p}^{2}+2}}$，
PE平分∠CPQ，u=v，8p²-36p+41=2p²+2，
2p²-12p+13=0，
p=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（另一根p=3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞3，舍去），
P（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
OP=$\sqrt{（3-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（3-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
AP=AO-OP=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$-（3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，在翻折时，要注意翻折不变性．