Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，，若，则称为的环绕点．

（1）当半径为1时，

①在，，中，的环绕点是_______________；

②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；

（2）的半径为1，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①P1，P3；②或；（2）-2＜t≤4

【解析】

（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN=60°时，可证TP=2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，首先说明：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆设的点不包括小圆上的点）．利用这个结论解决问题即可．

②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．求出两种特殊位置b的值，结合图形根据对称性解决问题即可．

（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y=x上，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．利用（1）中结论，画出圆环，当圆环与∠MON的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置t的值即可解决问题．

（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．

当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，

∵∠TPM=∠TPN=30°，

∵TM⊥PM，TN⊥PN，

∴∠PMT=∠PNT=90°，

∴TP=2TM，

以T为圆心，TP为半径作⊙T，

观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．

如图中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P1，P3是⊙O的环绕点，

故答案为P1，P3．

②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E．

当直线经过点E时，b=1．

当直线与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，

由题意B（0，b），A（-2b，0），

∴OB=b，OA=2b，，

∵OK=2，ABOK=OAOB，

∴，

解得，

观察图象可知，当时，线段AB上存在⊙O的环绕点，

根据对称性可知：当时，线段AB上存在⊙O的环绕点，

综上所述，满足条件的b的值为或；

（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y=x上，

∵m＞0，

∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，

∵E（m，m），

∴OM=m，EM=，

∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．

当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．

∵，

∴∠EOM=30°，

∵ON，OM是⊙E的切线，

∴∠EON=∠EOM=30°，

∴∠TOD=30°，

∴OT=2DT=4，

∴T（0，4），

当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，-2），

观察图象可知，当-2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．