【题目】如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;
(3)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
【答案】(1)抛物线表达式为:y=﹣x2+4x;
(2)点P坐标为(5,﹣5);
(3)△CMN的面积为: 或或17或5.
【解析】解:(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,
得 解得:,
∴抛物线表达式为:y=﹣x2+4x;
(2)过P点作PD⊥BH交BH于点D,
设点P(m,﹣m2+4m),
根据题意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,
∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD,
6=×3×3+(3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣(m﹣1)(3+m2﹣4m),
∴3m2﹣15m=0,
m1=0(舍去),m2=5,
∴点P坐标为(5,﹣5).
(3)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图2,CM=MN,∠CMN=90°,
则△CBM≌△MHN,
∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,
∴M(1,2),N(2,0),
由勾股定理得:MC==,
∴S△CMN=××=;
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图3,作辅助线,构建如图所示的两直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,
得Rt△NEM≌Rt△MDC,
∴EM=CD=5,MD=ME=2,
由勾股定理得:CM==,
∴S△CMN=××=;
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图4,CN=MN,∠MNC=90°,作辅助线,
同理得:CN==,
∴S△CMN=××=17;
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,作辅助线,如图5,同理得:CN==,
∴S△CMN=××=5;
⑤以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形;
综上所述:△CMN的面积为:或或17或5.
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【题目】学习了有理数的乘法后,老师给同学们布置这样一道题目:计算49 ×(–5),看谁算的又快又对,有三位同学的解法如下:
小军:原式 =(49 + )×(–5)= 49×(–5)+ ×(–5)
=–245–4=–249;
小明:原式 = – × 5 = – = – 249 ;
小丽:原式 =(49 + )×(-5)=(50 -1 + )×(-5)
=(50 - )×(-5)= 50 ×(-5)+( - ) ×(-5)
= –250 += –249;
(1)对于以上三种解法,你认为谁的解法较好?
(2)上面的解法对你有何启发,用你认为最合适的方法计算:
19 ×(– 8)
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【题目】在直线y=kx上的两个点(x1,y1)和(x2,y2),当x1<x2,y1<y2,则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
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【题目】如图1,A,B分别在射线OA,ON上,且∠MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.
(1)求证:△PCE≌△EDQ;
(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形;
(3)如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小.
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【题目】下列说法正确的个数为( ) ①柱体的上、下两个面一样大;②圆柱的侧面展开图是长方形;③正方体有6个顶点;④圆锥有2个面,且都是曲面;⑤球仅由1个面围成,这个面是平面;⑥三棱柱有5个面,且都是平面.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】小彬和小明每天早晨坚持跑步,小彬每秒跑4米,小明每秒跑6米.
(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑,那么几秒后两人相遇?
(2)如果小明站在百米跑道的起点处,小彬站在他前面10米处,两人同时同向起跑,几秒后小明能追上小彬?
(2)如果他们都站在四百米环形跑道的起点处,两人同时同向起跑,几分钟后他们再次相遇?
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【题目】已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中, 每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;
(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比为2︰1,并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.
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