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【题目】如图1AB分别在射线OAON上,且∠MON为钝角,现以线段OAOB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAPOBQ,点CDE分别是OAOBAB的中点.

1)求证:PCE≌△EDQ

2)延长PCQD交于点R.如图2,若∠MON=150°,求证:ABR为等边三角形;

3如图3,若ARB∽△PEQ,求∠MON大小.

【答案】1)证明见解析;

2)证明见解析;

3MON=135°.

【解析】解(1)证明:∵点CDE分别是OAOBAB的中点,

DE=OCOCCE=ODCEOD

∴四边形ODEC是平行四边形,

∴∠OCE=ODE

∵△OAPOBQ是等腰直角三角形,

∴∠PCO=QDO=90°

∴∠PCE=PCO+OCE=QDO=ODQ=EDQ

PC=AO=OC=EDCE=OD=OB=DQ

PCEEDQ

∴△PCE≌△EDQ

2)如图2,连接RO

PRQR分别是OAOB的垂直平分线,

AP=OR=RB

∴∠ARC=ORCORQ=BRO

∵∠RCO=RDO=90°COD=150°

∴∠CRD=30°

∴∠ARB=60°

∴△ARB是等边三角形;

(3)由(1)得,EQ=EPDEQ=CPE

∴∠PEQ=CED﹣CEP﹣DEQ=ACE﹣CEP﹣CPE=ACE﹣RCE=ACR=90°

∴△PEQ是等腰直角三角形,∵△ARB∽△PEQ∴∠ARB=PEQ=90°

∴∠OCR=ODR=90°CRD=ARB=45°

∴∠MON=135°

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