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如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=-1，
则直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF= $\text{[math]}$ DE，即y= $\text{[math]}$ x；

（3）当BD：BF=2：1时，
过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4- $\text{[math]}$ OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4- $\text{[math]}$ OD，
解得：OD= $\text{[math]}$ ，

∴点D的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
∴直线CD的解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
则点P的坐标为（2，2）；
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，

过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴FG=8，OD= $\text{[math]}$ BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8-OD=4+2OD，
OD= $\text{[math]}$ ，
∴点D的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），
直线CD的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为（8，-4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．
分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF= $\text{[math]}$ DE，即y= $\text{[math]}$ x；
（3）当 $\text{[math]}$ =2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4- $\text{[math]}$ OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，最后根据 $\text{[math]}$ 求出点P的坐标即可；
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得出FG=8，OD= $\text{[math]}$ BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据 $\text{[math]}$ 即可求出点P的坐标．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．

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