Question

【题目】如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.

（l）求抛物线的表达式；

（2）如图l，若点为第二象限抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标；

（3）如图2，在轴上是否存在一点使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，点坐标为；（3）存在符合条件的点，其坐标为或，或或

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入解析式即可得到答案；

（2）设，过点作轴于点，利用求出解析式即得到面积的最大值及点E的坐标；

（3）存在，分以点C、A为顶点及线段AC为底边三种情况，分别求出点D的坐标即可.

解：（1）由题知：

，解得：

∴所求抛物线表达式为

（2）过点作轴于点

设

∴，，，

∴

∴当时，最大，且最大值为.

当时，

此时，点坐标为

（3）连接

①当点为顶点，时，此时为底边的垂直平分线，

满足条件的点，与点关于轴对称，

∴点坐标为

②当点为顶点，时，在中，

∵，，由勾股定理得：，

以点为圆心，的长为半径作弧，交轴于两点，即为满足条件的点，

此时它们的坐标分别为，

③当为底边时，线段的垂直平分线与轴的交点，即为满足条件的点，

设垂直的垂直平分线交轴于点，过中点，

∵，

∴

∴

∴，，

，，，

点的坐标为

综上所述存在符合条件的点，其坐标为或，或或