Question

已知在△ABC中，∠A是锐角，AB=c，BC=a，CA=b．
（1）当∠A=30°，b=6，c=3时，△ABC的面积为

 

，

1

2

bcsinA=

 

；
（2）当∠A=45°，b=6，c=3时，△ABC的面积为

 

，

1

2

bcsinA=

 

；
（3）当∠A=60°，b=4，c=3时，△ABC的面积为

 

，

1

2

bcsinA=

 

；
（4）根据（1）（2）（3）题的解答，猜想△ABC的面积与

1

2

bcsinA的大小关系，并给出证明．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积为4.5，代入数据计算得出

1

2

bcsinA=4.5；
（2）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积为

9 2

2

，代入数据计算得出

1

2

bcsinA=

9 2

2

；
（3）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积为3

3

，代入数据计算得出

1

2

bcsinA=3

3

；
（4）根据（1）（2）（3）题的解答，猜想△ABC的面积=

1

2

bcsinA，过点B作BD⊥AC于D，在Rt△ABC中利用正弦函数的定义得出BD=csinA，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=

1

2

AC•BD=

1

2

bcsinA．

解答：解：（1）过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABC中，BD=AB•sinA=csinA=3×

1

2

=1.5，
△ABC的面积=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×1.5=4.5，

1

2

bcsinA=

1

2

×6×3×

1

2

=4.5；

（2）过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABC中，BD=AB•sinA=csinA=3×

2

2

=

3 2

2

，
△ABC的面积=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×

3 2

2

=

9 2

2

，

1

2

bcsinA=

1

2

×6×3×

2

2

=

9 2

2

；

（3）过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABC中，BD=AB•sinA=csinA=3×

3

2

=

3 3

2

，
△ABC的面积=

1

2

AC•BD=

1

2

×4×

3 3

2

=3

3

，

1

2

bcsinA=

1

2

×4×3×

3

2

=3

3

；

（4）猜想△ABC的面积=

1

2

bcsinA，理由如下：
过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABC中，∵BD=AB•sinA=csinA，
∴△ABC的面积=

1

2

AC•BD=

1

2

bcsinA．
故答案为4.5，4.5；

9 2

2

，

9 2

2

；3

3

，3

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形的面积公式，作出AC边上的高得到直角三角形是解题的关键．