Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为MN（点M、N分别在边AC、BC上），给出以下判断：
①当MN∥AB时，CM=AM；                    
②当四边形CMDN为矩形时，AC=BC；
③当点D为AB的中点时，△CMN与△ABC相似；
④若AC=3，BC=4，则1≤AD≤3．
其中正确的是①③④（把所有正确的结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 ①根据平行线的性质得到∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，根据翻折变换的性质得到∠CMN=∠DMN，CM=DM，根据等腰三角形的判定和等量代换证明即可；
②根据折叠的性质得到CM=DE，故四边形CMDN是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形即可得到结论；
③连接CD，根据直角三角形的性质得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质推出∠DCB+∠CNM=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CNM=∠A，即可得到结论；
④分两种情况进行讨论，当N与B重合时，当M与A重合时，分别求得AD的最小值与最大值即可．

解答 解：①∵MN∥AB，
∴∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，
由翻折变换的性质可知，∠CMN=∠DMN，CM=DM，
∴∠CAB=∠MDA，
∴AM=DM，
∴CM=AM，故①正确；
②根据折叠的性质得到CE=DE，矩形CMDN是正方形，
又∵任意一个直角三角形都有一个内接正方形，故②错误；
③当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似，
理由如下：如图，连接CD，与MN交于点Q，

∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B，
由轴对称的性质可知，∠CQN=∠DQN=90°，
∴∠DCB+∠CNM=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CNM=∠A，
又∵∠MCN=∠BCA，
∴△CMN∽△CBA；故③正确；
④若AC=3，BC=4，则Rt△ABC中，AB=5，
如图，当N与B重合时，DB=CB=4，

此时，AD=AB-DB=5-4=1；
如图，当M与A重合时，AD=AC=3，

∴1≤AD≤3，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，掌握翻折变换是一种轴对称，翻折前后对应边和对应角相等，正确运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．