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如图,△ABC中,∠C=90°,⊙O为它的内切圆,切点分别是D、E、F.
(I)若AC=4,BC=3,求:△ABC的内切圆的半径;
(II)若△ABC的内切圆半径r,△ABC的周长为l,则S△ABC的值为______
(III)若AD=x,BD=y,求S△ABC

解答:解:(1)如图;
在Rt△ABC,∠C=90°,AC=4,BC=3;
根据勾股定理AB==5;
四边形OECF中,OE=OF,∠OEC=∠OFC=∠C=90°;
∴四边形OECF是正方形;
由切线长定理,得:AD=AF,BD=BE,CE=CF;
∴CE=CF=(AC+BC-AB);
即:r=(3+4-5)=1;
(2)由题意,如图,
连接OE,OD,OF;OA,OB,OC;则:OE⊥AB,OF⊥AC,OD⊥BC;
∴△ABC的面积=AB×OE+BC×OD+AC×OF
∵OE=OF=OD=r,AB+BC+AC=l,
∴△ABC的面积=AB×r+BC×r+AC×r=(AB+BC+AC)
=l.
(3)假设内切圆半径为r,则BC=r+y,AC=r+x,斜边AB=x+y,
用勾股定理:(x+r)2+(y+1)2=(x+y)2
解得:r=
∴r=
∴S△ABC=×AC×BC=×(x+)(y+
=××
=
=xy.
分析:(1)根据已知得出四边形OECF是正方形,根据切线长定理可得:CE=CF=(AC+BC-AB),得出内切圆半径即可;
(2)根据△ABC的内切圆半径r,△ABC的周长为l,分隔三角形面积得出△ABC的面积即可;
(3)根据AD=x,BD=y,设内切圆半径为r,则BC=r+y,AC=r+x,斜边AB=x+y,利用勾股定理得出r,进而得出三角形面积即可.
点评:此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及直角三角形的性质,解答的关键是,充分利用已知条件,将问题转化为求几个三角形面积的和.
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