解答:
解:(1)如图;
在Rt△ABC,∠C=90°,AC=4,BC=3;
根据勾股定理AB=
=5;
四边形OECF中,OE=OF,∠OEC=∠OFC=∠C=90°;
∴四边形OECF是正方形;
由切线长定理,得:AD=AF,BD=BE,CE=CF;
∴CE=CF=
(AC+BC-AB);
即:r=
(3+4-5)=1;
(2)由题意,如图,
连接OE,OD,OF;OA,OB,OC;则:OE⊥AB,OF⊥AC,OD⊥BC;
∴△ABC的面积=
AB×OE+
BC×OD+
AC×OF
∵OE=OF=OD=r,AB+BC+AC=l,
∴△ABC的面积=
AB×r+
BC×r+
AC×r=
(AB+BC+AC)
=
l.
(3)假设内切圆半径为r,则BC=r+y,AC=r+x,斜边AB=x+y,
用勾股定理:(x+r)
2+(y+1)
2=(x+y)
2,
解得:r=
,
∴r=
,
∴S
△ABC=
×AC×BC=
×(x+
)(y+
)
=
×
×
=
=xy.
分析:(1)根据已知得出四边形OECF是正方形,根据切线长定理可得:CE=CF=
(AC+BC-AB),得出内切圆半径即可;
(2)根据△ABC的内切圆半径r,△ABC的周长为l,分隔三角形面积得出△ABC的面积即可;
(3)根据AD=x,BD=y,设内切圆半径为r,则BC=r+y,AC=r+x,斜边AB=x+y,利用勾股定理得出r,进而得出三角形面积即可.
点评:此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及直角三角形的性质,解答的关键是,充分利用已知条件,将问题转化为求几个三角形面积的和.