Question

【题目】如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　 　；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　 　．

（2）求P的对称轴（用含m、n的代数式表示）；

（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；y＝﹣4x+4；（2）；（3）满足条件的点Q坐标为、．

【解析】

（1）若l：y=-2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=-x2-3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；

（2）根据对称轴的定义解答即可；

（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．

解：（1）若l：y＝﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，

∴D（﹣2，0）．

设P表示的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：

，

解得，

∴P表示的函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；

若P：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+4）（x﹣1），

则D（﹣4，0），A（1，0）．

∴B（0，4）．

设l表示的函数解析式为：y＝kx+b，将点A、B坐标代入得：

，解得，

∴l表示的函数解析式为：y＝﹣4x+4．

故答案为：y＝﹣x2﹣x+2；y＝﹣4x+4．

（2）直线l：y＝mx+n，（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，

∴，B（0，n），D（﹣n，0）．

设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0）．

∵DN＝AN．

∴，

∴，

∴p的对称轴为．

（3）l：y＝﹣2x+4，

当x=0时，y=4；当y=0时，x=2，

∴A（2，0）、B（0，4）．

∵OC=OA,OD=OB,

∴C（0，2），D（﹣4，0）．

设yCD=k1x+b1,

∴,

∴

∴直线CD的解析式为：．

由（2）可得，p的对称轴为x＝﹣1．

∵以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形．

∴FQ∕∕CE，且FQ＝CE．

设直线FQ的解析式为：．

∵点E、点C的横坐标相差1．

∴点F、点Q的横坐标也是相差1．

则|xF﹣（﹣1）|＝|xF+1|＝1．

解得xF＝0或xF＝﹣2．

∵点F在直线l1：y＝﹣2x+4上．

∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．

若F（0，4），

∴b=4,

∴直线FQ的解析式为：．

当x＝﹣1时，．

∴．

若F（﹣2，8），

∴8=-1+b,

∴b=9,

∴直线FQ的解析式为：．

当x＝﹣1时，，

∴．

∴满足条件的点Q坐标为、．