Question

3．△ABC是等边三角形，点P是直线AB上一点，作PE⊥AC于E，点Q为直线BC上一点，PQ交直线AC于点D，DE=$\frac{1}{2}$AB．
（1）如图1，若点P在边AB上，点Q在边BC延长线上，请问AP与CQ有怎样的数量关系，直接写出结论；
（2）如图2，若点P在边AB延长上，点Q在边BC延长线上，（1）问中的结论是否成立，请说明理由；
（3）如图3，若点P在边BA的延长线上，点Q在边BC上，且PQ⊥BC，若CQ=4，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，如图1，过P作PG∥BC，根据平行线的性质得到∠AGP=∠ACB=60°，∠PGD=∠QCD，推出△APG是等边三角形，于是得到AP=PG证得△PGD≌△QCD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，过P作PF∥BC交AC的延长线于F，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，于是得到∠F=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AP=PF，推出△PFD≌△QCD，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（3）如图3，过P作PF∥BC交CA的延长线于F，由△ABC是等边三角形，得到AB=AB=BC，由PE⊥AE，△APF是等边三角形，于是得到EF=AE，证得DF=CD，求得CD=DF=8，推出△DQC≌△DPF，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）AP=CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
如图1，过P作PG∥BC，
∴∠AGP=∠ACB=60°，∠PGD=∠QCD，
∴△APG是等边三角形，
∴AP=PG，
∵PE⊥AG，
∴AE=EG，
∵DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE+CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴DG=CD，
在△PGD与△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGD=∠QCD}\\{GD=CD}\\{∠PDG=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△PGD≌△QCD，
∴PG=CQ，
∴AP=CQ；

（2）（1）问中的结论成立，
理由：如图2，过P作PF∥BC交AC的延长线于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD=DE-CE=$\frac{1}{2}$AC-（AC-AE）=AE-$\frac{1}{2}$AC=EF-DE=DF，
即CD=DF，
∵PF∥BQ，
∴∠F=∠QCD，
在△PFD与△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠QCD}\\{CD=DF}\\{∠QDC=∠PDQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD，
∴PF=CQ，
∴AP=CQ；

（3）如图3，过P作PF∥BC交CA的延长线于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AB=BC，
∵PE⊥AE，△APF是等边三角形，
∴EF=AE，
∵ED=DF-EF=DF-$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AF+AC）=$\frac{1}{2}$CF，
∴DF=CD，
在Rt△DQC中，
∵QC=4，∠CDQ=30°，
∴CD=DF=8，
在△DQC与△DPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{DF=CD}\\{∠PDF=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△DQC≌△DPF，
∴PF=CQ=AF=4，
∴AE=$\frac{1}{2}$AF=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．