Question

如图，半圆O的直径AD=12cm，AB，BC，CD分别与半圆O切于点A，E，D．
（1）设AB=x，CD=y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果CD=6，判断四边形ABCD的形状；
（3）如果AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）连接OB、OE、OC
∵AB，BC分别与半圆O切于点A，E，∴BE=BA，∠OEB=∠OAB=90°
∴△OAB≌△OEB
∴∠EOB=∠AOB
同理，∵BC，CD分别与半圆O切于点E，D
∴△COE≌△COD
∴∠COD=∠COE
∵∠AOB+∠EOB+∠COE+∠COD=180°
∴∠BOE+∠COE=90°
∴OB⊥OC
∵OB²=OA²+AB²=36+x²；OC²=OD²+CD²=36+y²；
∵BE=AB=x，CE=CD=y；BC=x+y．
∴（x+y）²=36+x²+36+y²；
∴xy=36；
化简可得：y=；

（2）若CD=6，又有半圆O的直径AD=12cm；即OE=6；故OE∥DC∥AB．
则四边形ABCD的形状是矩形；

（3）过点B作BF⊥CD于F，
∵BA是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，
∴BA⊥AD．
又∵CD⊥AD，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=12，FD=BA=4．
∴CF=5，
∵CB、BA和CD都是半圆O的切线，
∴CE=CD=9，BE=BA=4．
∴CB=CE+EB=13，
∵S_半圆=π×6²=18π，S_梯形ABCD=（4+9）•12=78，
∴S_阴=S_梯-S_半圆=78-18π
说明：（1）；（2）；（3）．
分析：（1）连接OB，OC；易得OB⊥OC；进而根据勾股定理可得：OB²=OA²+AB²；OC²=OD²+CD²；再根据切线长定理可得：BE、CE与AB、CD的长相等；将上述关系联立可得：（x+y）²=36+x²+36+y²；化简整理可得答案；
（2）若CD=6，根据半圆O的直径AD=12cm；即OE=6；易得四边形ABCD的形状是矩形；
（3）过点B作BF⊥CD于F，易得BA⊥AD．又CD⊥AD，进而可得四边形ABFD是矩形，故CB=CE+EB=13，在Rt△CFB中，得BF=12，故AD=12，故可得半圆与阴影部分的面积．
点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．