Question

4．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：BF平分∠ABD．

Answer 1

分析 （1）先根据翻折变换的性质得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出结论；
（2）在Rt△BCD中根据sin∠CBD=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{1}{2}$可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性质可知∠ABF=90°-30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，
∵△BED是△BCD翻折而成，
∴ED=CD，∠E=∠C，
∴ED=AB，∠E=∠A．
在△ABF与△EDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠E=∠A\\∠AFB=∠EFD\\ ED=AB\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴AF=EF；

（2）在Rt△BCD中，
∵DC=DE=4，DB=8，
∴sin∠CBD=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBD=30°，
∴∠EBD=∠CBD=30°，
∴∠ABF=90°-30°×2=30°，
∴∠ABF=∠DBF，
∴BF平分∠ABD．

点评 本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．