Question

如图所示，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=

5

，AC=4，BD=2．试证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：由平行四边形的对角线互相平分得到△AOB的两条边OA、OB的长度，则根据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线互相垂直平分，故四边形ABCD是菱形．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=2，
∴OA=

1

2

AC=2，OB=

1

2

BD=1．
又AB=

5

，
∴AB²=OA²+OB²=5，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．