【题目】如图,已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)①∠ABN的度数是; ②∵AM∥BN,∴∠ACB=∠;
(2)求∠CBD的度数;
(3)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(4)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是 .
【答案】
(1)120°;CBN
(2)解:∵AM∥BN,
∴∠ABN+∠A=180°,
∴∠ABN=180°﹣60°=120°,
∴∠ABP+∠PBN=120°,
∵BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,
∴∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,
∴2∠CBP+2∠DBP=120°,
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°
(3)解:不变,∠APB:∠ADB=2:1.
∵AM∥BN,
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,
∵BD平分∠PBN,
∴∠PBN=2∠DBN,
∴∠APB:∠ADB=2:1
(4)30°
【解析】解:(1)①∵AM∥BN,∠A=60°, ∴∠A+∠ABN=180°,
∴∠ABN=120°;②∵AM∥BN,
∴∠ACB=∠CBN,
故答案为:120°,∠CBN;(4)∵AM∥BN,
∴∠ACB=∠CBN,
当∠ACB=∠ABD时,则有∠CBN=∠ABD,
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,
∴∠ABC=∠DBN,
由(1)可知∠ABN=120°,∠CBD=60°,
∴∠ABC+∠DBN=60°,
∴∠ABC=30°,
故答案为:30°.
(1)由平行线的性质:两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得;(2)由(1)知∠ABP+∠PBN=120°,再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP,可得2∠CBP+2∠DBP=120°,即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°;(3)由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN,根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN,从而可得∠APB:∠ADB=2:1;(4)由AM∥BN得∠ACB=∠CBN,当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD,得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,即∠ABC=∠DBN,根据∠ABN=120°,∠CBD=60°可得答案.
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【题目】如下图。
(1)如图1,若CO⊥AB,垂足为O,OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数;
(2)如图2,若∠AOC=∠BOD=80°,OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.求∠EOF的度数;
(3)若∠AOC=∠BOD=α,将∠BOD绕点O旋转,使得射线OC与射线OD的夹角为β,OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.若α+β≤180°,α>β,则∠EOC= . (用含α与β的代数式表示)
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【题目】(12分)如图,在△ABC中,∠A=60°,点D是BC边的中点,DE⊥BC,∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P,连接PC.
(1)若∠ACP=24°,求∠ABP的度数;
(2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,请直接写出m,n满足的关系式:_________________.
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【题目】若一个三角形三边a,b,c满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
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【题目】下列命题是真命题的是( )
A.多边形的内角和为360°
B.若2a﹣b=1,则代数式6a﹣3b﹣3=0
C.二次函数y=(x﹣1)2+2的图象与y轴的交点的坐标为(0,2)
D.矩形的对角线互相垂直平分
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 一个锐角的余角比这个角的补角小90°;
B. 如果一个角有补角,那么这个角必是钝角;
C. 若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1、∠2、∠3互为补角;
D. 如果∠α和∠β互为余角,∠β与∠θ互为余角,那么∠α与∠θ互为余角.
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【题目】如图,∠AOB=90°,∠AOC为∠AOB外的一个锐角,且∠AOC=30°,射线OM平分∠BOC,ON平分∠AOC.
(1)求∠MON的度数;
(2)如果(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)如果(1)中∠AOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数.
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