【题目】对于平面直角坐标系中的图形,,给出如下定义:为图形上任意一点,为图形上任意一点,如果线段的长度有最小值,那么称这个最小值为图形,的“近距”,记作;如果线段的长度有最大值,那么称这个最大值为图形,的“远距”,记作.
已知点,.
(1)(点,线段)______,(点,线段)______;
(2)一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,若(线段,线段),
①求的值;
②直接写出(线段,线段)______;
(3)的圆心为,半径为1.若(线段),请直接写出(,线段)的取值范围.
【答案】(1)3,5;(2)①; ②;(3)(,线段).
【解析】
(1)由图可知O到A的距离最小,O到B的距离最大,求出相应距离即可;、
(2)根据题意判断为等腰直角三角形,可得,得到OC=OD,求得点C坐标,从而得到k的值;根据线段CD与线段AB的位置关系,得到BC间距离即为所求;
(3)通过对在轴上的位置的讨论,即可得到(,线段)的取值范围
(1)作图如下:
A(0,3),B(4,3)
∴OA=3,AB=4
∴点O到线段AB上的点A的距离最短,OA=3;
∴点O到线段AB上的点B的距离最大,;
(2)①过点A作于点E,
则(线段,线段),
直线与y轴交点为,
与x轴交点C在x轴负半轴,
.
.
.
点C的坐标为.
.
②由图可知,线段CD上一点,到线段AB上一点的距离的最大值为BC的长度,作图如下:
∴
故答案为:
(3)作图如下:
若在点A的左侧,则,,则,即T()
此时(,线段)=
若在点AB中间,当圆心T为AB中垂线与轴交点,即T(),
此时(,线段)最小,即(,线段)=
故答案为:(,线段).
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【题目】如图①,长为120 km的某段线路AB上有甲、乙两车,分别从南站A和北站B同时出发相向而行,到达B,A后立刻返回到出发站停止,速度均为40 km/h,设甲车,乙车距南站A的路程分别为y甲,y乙(km),行驶时间为t(h).
(1)图②已画出y甲与t的函数图象,其中a=____,b=____,c=____;
(2)分别写出0≤t≤3及3<t≤6时,y乙与时间t之间的函数关系式;
(3)在图②中补画y乙与t之间的函数图象,并观察图象计算出在整个行驶过程中两车相遇的次数.
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【题目】如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA于C,过点B作⊙O的切线BD交CE的延长线于点D.
(1)求证:DB=DE;
(2)连接AD,若AB=24,DB=10,求四边形OADB的面积.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α°.得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)用α表示∠ACE的度数;
(3)若使四边形ABFE是菱形,求α的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数的图象经过点,直线与轴交于点.
(1)求的值及点的坐标;
(2)直线与函数的图象交于点,记图象在点,之间的部分与线段,,围成的区域(不含边界)为.
①当时,直接写出区域内的整点个数;
②若区域内恰有2个整点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,⊙M过坐标原点O且分别交x轴、y轴于点A,B,点C为第一象限内⊙M上一点.若点A(6,0),∠BCO=30°.
(1)求点B的坐标;
(2)若点D的坐标为(-2,0),试猜想直线DB与⊙M的位置关系,并说明理由.
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【题目】如果都是非零整数,且,那么就称是“4倍数”.
(1)30到35之间的“4倍数”是_________,小明说:是“4倍数”,嘉淇说:也是“4倍数”,他们谁说的对?____________.
(2)设是不为零的整数.
①是___________的倍数;
②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为____________,它_____________(填“是”或“不是”)32的倍数.
(3)设三个连续偶数的中间一个数是(是整数),写出它们的平方和,并说明它们的平方和是“4倍数”.
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【题目】如图,是以O为圆心,AB长为直径的半圆弧,点C是AB上一定点.点P是上一动点,连接PA,PC,过点P作PD⊥AB于D.已知AB=6cm,设A、P两点间的距离为x cm,P、C两点间的距离为y1 cm,P、D两点间的距离为y2 cm.
小刚根据学习函数的经验,分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究.下面是小刚的探究过程,请将它补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到y1和y2与x的几组对应值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 4.00 | 3.96 | m | 3.61 | 3.27 | 2.77 | 2.00 |
y2/cm | 0.00 | 0.99 | 1.89 | 2.60 | 2.98 | 2.77 | 0.00 |
经测量,m的值是 ;(保留一位小数)
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),点(x,y2),并画出函数y1, y2的图象;
(3)结合函数图象,回答问题:△APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
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