Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）用α表示∠ACE的度数；

（3）若使四边形ABFE是菱形，求α的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE＝＝90°﹣；（3）120°．

【解析】

（1）根据旋转角求出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；

（2）根据等腰三角形的性质得到结论；

（3）根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝90°﹣，求得∠BFE＝150°，若使四边形ABFE是菱形，只要四边形ABFE是平行四边形即可，得到∠BAE＝∠BFE，于是得到结论．

解：（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转α°，

∴∠BAC＝∠DAE＝30°，∠BAD＝∠CAE＝α°，

又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE，

在△ABD与△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）解：∵∠CAE＝α°，AC＝AE，

∴∠ACE＝（180°﹣∠CAE）＝（180°﹣α°）＝90°﹣；

（3）解：∵∠BAD＝∠CAE＝α°，AB＝AC＝AD＝AE，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝90°﹣，

∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝α°+30°＝（α+30）°，

∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝360°﹣（α+30）°﹣2（90°﹣）＝150°，

∵AB＝AE，

∴若使四边形ABFE是菱形，

只要四边形ABFE是平行四边形即可，

∵∠ABD＝∠AEC，

∴只要∠BAE＝∠BFE，

即（30+α）°＝150°，

解得：α°＝120°，

即当α°＝120°时，四边形ABFE是菱形．