【题目】如图1,直角三角形的直角顶点在矩形的对角线上(点不与点重合,可与点重合),满足,于点,已知,.
(1)若,则___________;
(2)当点在的平分线上时,求的长;
(3)当点的位置发生改变时:
①如图2,的外接圆是否与一直保持相切.说明理由;
②直接写出的外接圆与相切时的长.
【答案】(1)9;(2);(3)①的外接圆与一直保持相切,理由见解析;②4.
【解析】
(1)根据平行线截线段成比例得到,求出,则;
(2)根据平行线截线段成比例得到,设,,则,,再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到,最后利用等面积法列出的方程,解方程得出x,最后代入即可得出答案;
(3)①根据直径所对的圆周角是直角,可知的外接圆是以的中点为圆心,为半径的圆;利用证出,利用圆中半径相等,证出,即可得出答案;
②当的外接圆与相切时(图见解析),利用,表示出,,,,,再根据,列出方程,解出,则.
解:(1)在矩形中,,,
,
在矩形中,
∵于点,
∴,
∴,
∴,
,
.
故答案为:9.
(2)如图1,
在矩形中,
∵于点,
∴.
∴.
设,,则,.
作于点,
∵点在的平分线上,
∴.
,
即,解得.
∴.
(3)①的外接圆与一直保持相切.
如图2所示,
∵是直角三角形,
∴的外接圆是以的中点为圆心,为半径的圆.
在中,.
在中,,
∴,
∵,,即.
∵点是斜边的中点,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴当点的位置发生改变时,的外接圆与一直保持相切.
②4.
如图3,
的外接圆与切于点时,
的外接圆是以的中点为圆心,为半径的圆.
过点作于点,连接.
四边形为矩形,.
设,,,
,
则,.
在中,,
∴.
∵,即.
∴.
∴.
∴当的外接圆与相切时,的长为4.
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【题目】已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,-4),下列说法正确的是( )
A.反比例函数y2的解析式是
B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,4)
C.当x<-2或0<x<2时,y1>y2
D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而减小
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α°.得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)用α表示∠ACE的度数;
(3)若使四边形ABFE是菱形,求α的度数.
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【题目】在平面直角坐标系中,⊙M过坐标原点O且分别交x轴、y轴于点A,B,点C为第一象限内⊙M上一点.若点A(6,0),∠BCO=30°.
(1)求点B的坐标;
(2)若点D的坐标为(-2,0),试猜想直线DB与⊙M的位置关系,并说明理由.
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【题目】如果都是非零整数,且,那么就称是“4倍数”.
(1)30到35之间的“4倍数”是_________,小明说:是“4倍数”,嘉淇说:也是“4倍数”,他们谁说的对?____________.
(2)设是不为零的整数.
①是___________的倍数;
②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为____________,它_____________(填“是”或“不是”)32的倍数.
(3)设三个连续偶数的中间一个数是(是整数),写出它们的平方和,并说明它们的平方和是“4倍数”.
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【题目】如图1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC.
(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】某中学开展普通话演讲比赛,九(1)、(2)两个班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛,10名选手的复赛成绩如图所示:
(1)根据如图补充完成下面的成绩统计分析表:
平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 | 合格率 | 优秀率 | |
九(1)班 | 85 |
| 85 |
|
| 60% |
九(2)班 | 85 | 80 |
| 160 | 100% |
|
(2)九(1)班学生说他们的复赛成绩好于九(2)班,结合图表,请你给出三条支持九(1)班学生观点的理由.
(3)如果从复赛成绩100分的3名选手中任选2人参加学校决赛,求选中的两位选手恰好一位来自于九(1)班,另一位来自于九(2)班的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(,0)和点B(1,),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=∠MFO时,请直接写出线段BM的长.
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