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【题目】如图1,直角三角形的直角顶点在矩形的对角线上(点不与点重合,可与点重合),满足于点,已知

1)若,则___________

2)当点的平分线上时,求的长;

3)当点的位置发生改变时:

①如图2的外接圆是否与一直保持相切.说明理由;

②直接写出的外接圆与相切时的长

【答案】19;(2;(3)①的外接圆与一直保持相切,理由见解析;②4.

【解析】

1)根据平行线截线段成比例得到,求出,则

2)根据平行线截线段成比例得到,设,则,再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到,最后利用等面积法列出的方程,解方程得出x,最后代入即可得出答案;

3)①根据直径所对的圆周角是直角,可知的外接圆是以的中点为圆心,为半径的圆;利用证出,利用圆中半径相等,证出,即可得出答案;

②当的外接圆与相切时(图见解析),利用表示出,再根据,列出方程,解出,则

解:(1)在矩形中,

在矩形中,

于点

故答案为:9

2)如图1

在矩形中,

于点

,则.

于点

∵点的平分线上,

,解得

3)①的外接圆与一直保持相切.

如图2所示,

是直角三角形,

的外接圆是以的中点为圆心,为半径的圆.

中,

中,

,即

∵点斜边的中点,

∴当点的位置发生改变时,的外接圆与一直保持相切.

4

如图3

的外接圆与切于点时,

的外接圆是以的中点为圆心,为半径的圆.

过点于点,连接

四边形为矩形,

中,

,即.

∴当的外接圆与相切时,的长为4

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4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.

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平均数

中位数

众数

方差

合格率

优秀率

九(1)班

85

   

85

   

   

60%

九(2)班

85

80

   

160

100%

   

2)九(1)班学生说他们的复赛成绩好于九(2)班,结合图表,请你给出三条支持九(1)班学生观点的理由.

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