Question

9．如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（　　）

• A． 等腰梯形
• B． 矩形
• C． 菱形
• D． 正方形

Answer 1

分析 连接AC与BD，首先证得△AEC≌△DEB，即可得到AC=BD，然后利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形MNPQ是菱形．

解答 证明：连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
在△AEC与△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠AEC=∠DEB=120°}\\{EC=EB}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEB（SAS）；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=$\frac{1}{2}$AC，
同理可证得：NP=$\frac{1}{2}$DB，QP=$\frac{1}{2}$AC，MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形．
故选：C．

点评 此题主要考查的是中点四边形，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．