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    14．[问题情境]
    勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
    [定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
    [尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
    [知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$，其证明步骤如下：
    ∵BC=a+b，AD=$\sqrt{2}c$
    又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即BC＜AD
    ∴$\frac{a+b}{c}$$＜\sqrt{2}$．

    分析 （1）根据勾股定理用文字及符号语言叙述；
    （2）利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED=90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2=c2；
    （3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=$\sqrt{2}$c，从而可证 $\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．

    解答 解：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
    （2）如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
    ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
    ∴∠AEB=∠EDC；
    又∵∠EDC+∠DEC=90°，
    ∴∠AEB+∠DEC=90°；
    ∴∠AED=90°；
    S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c2；
    $\frac{1}{2}$（a2+2ab+b2）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c2；
    整理得a2+b2=c2．
    （3）∵AD=$\sqrt{2}$c，BC＜AD，
    ∴a+b＜$\sqrt{2}$c，即 $\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．
    故答案为：$\sqrt{2}c$；BC＜AD

    点评 考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．

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