Question

已知直线AB：y=-

1

2

x+3与抛物线y=

1

2

x²交于A，B两点，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：可联立两解析式可求得A、B两点的坐标，分别过A、B两点作x轴的垂线，分别交x轴于点C、D，过P作PE⊥x轴于点E，设出P点坐标，可分别表示出梯形ABDC、梯形BDEP和梯形APEC的面积，可表示出△ABP的面积，得到方程可求得P点坐标．

解答：解：联立直线AB和抛物线解析式可得

y=- 1 2 x+3 y= 1 2 x2

，
解得

x=2 y=2

或

x=-3 y= 9 2

，
则A（-3，

9

2

），B（2，2），
设P点坐标为（x，

1

2

x²），
分别过点A、B、P作x轴的垂直，垂足分别为C、D、E，如图，

∴AC=

9

2

，PE=

1

2

x²，BD=2，DE=2-x，CE=x+3，CD=5，
∴S_梯形ABDC=

1

2

（BD+AC）CD=

1

2

×（2+

9

2

）×5=

65

4

，
S_梯形BDEP=

1

2

（BD+PE）DE=

1

2

（2+

1

2

x²）（2-x），
S_梯形ACEP=

1

2

（PE+AC）CE=

1

2

（

1

2

x²+

9

2

）（x+3），
∵S_△ABP=S_梯形ABDC-S_梯形BDEP-S_梯形ACEP，
∴

65

4

-

1

2

（2+

1

2

x²）（2-x）-

1

2

（

1

2

x²+

9

2

）（x+3）=5，
整理可得x²+x-2=0，解得x=-2或x=1，
∴P点坐标为（-2，2）或（1，

1

2

）．

点评：本题主要考查抛物线与直线的交点，求得交点的坐标用P点的坐标表示出△ABP的面积是解题的关键．