Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴负半轴上，S_△ABC=28．点P从C出发沿CA向终点A运动，设P点坐标为（t，0）．
（1）求直线CB的解析式；
（2）连接BP，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，线段EF的垂直平分线交AC于点G，连接BG，求BG的长；
（3）在（2）的条件下，当∠BGA=2∠PBG时，求P点坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=-x+4，
令x=0得：y=4，
∴B（0，4），
∵S_△ABC=28，
∴S_△ABC=，
∴AC=14，
∴OC=10，
∴C（-10，0）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y=x+4；

（2）连接EG并延长交直线CF于点Q，如图1，
∵CQ∥MG∥AE，ME=MF，
∴EG=QG，∠GCQ=∠EAG，
在△GCQ和△GAE中

∴△GCQ≌△GAE，
∴CG=AG，
∴GA=，
∴OG=GA-OA=7-4=3，
∴；

（3）①当P在G点左侧时，如图1，
∵∠BGA=∠PBG+∠BPG，∠BGA=2∠PBG，
∴∠BPG=∠PBG，
∴PG=BG=5，
∴OP=8
∴P（-8，0）；
②当P₁在G点右侧时；如图1′，
∵∠BGA=2∠P₁BG，∠BGA=2∠PBG，
∴∠P₁BG=∠PBG，
∠BP₁G=∠BP₁G，
∴△P₁GB∽△P₁PB，
∴=，
∴
∵由勾股定理得：，
设OP₁=x，
∴（3-x）（8-x）=x²+4²
∴，
∴P₁ （-，0）；
即P的坐标是（-8，0）或（-，0）．
分析：（1）求出B的坐标，求出AC=14，得出C的坐标（-10，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，代入求出即可；
（2）连接EG并延长交直线CF于点Q，求出EG=QG，∠GCQ=∠EAG，根据AAS证△GCQ≌△GAE，推出CG=AG，求出GA=7，OG=3，根据勾股定理求出即可；
（3）①当P在G点左侧时，求出∠BPG=∠PBG，推出PG=BG=5，即可得出P的坐标；②当P₁在G点右侧时，求出∠P₁BG=∠PBG，∠BP₁G=∠BP₁G，证△P₁GB∽△P₁PB，得出比例式，由勾股定理得出，设OP₁=x，得出方程（3-x）（8-x）=x²+4²，求出即可．
点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．