Question

【题目】如图，两个以点O为圆心的同心圆，

（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.

（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）AC=BD；（2）见解析；（3）100πcm2

【解析】试题分析：作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH=BH，CH=DH，然后利用等量减等量差相等可得到结论．

(2) 根据切线的性质以及垂径定理即可证明；

(3）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．

试题解析：（1）AC=BD，理由是：

过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，

AH-CH=BH-DH，

即AC=BD

（2）连接OC，如图，

AB是小圆的切线，

OC⊥AB，则AC=BC

（3）如图，连接OB．

∵大圆的弦AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，AC=CB，
∴OB2-OC2=（20÷2）2=102，
∵S圆环=S大-S小=πOB2-πOC2=π（OB2-OC2），
∴S圆环=100πcm2