Question

16．已知点A（0，-a），B（b，0），如图1，有理数a，b满足a²+b²+8a-8b+32=0．
（1）若点C（0，1），点D是第一象限内的点，连接DC交AB于点E．如图1，已知点E为线段DC中点，△ADC的面积=3，求点D的坐标；
（2）如图2，点G（2，0），连接AG，作∠BGH=∠AGO，点H为线段AB上一点，连接OH，试探究线段AG，GH，OH之间的关系．并正明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐标，作DH⊥y轴于H，作EF⊥y轴于F，根据三角形的面积求得DH=2，然后根据三角形中位线定理求得EF=1，由A、B的坐标，根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得E的纵坐标，得出CF=2，即可求得FH=FC=2，得出D的纵坐标；
（2）作HM⊥OB于M，由∠BGH=∠AGO，根据直角三角函数得出$\frac{OA}{OG}$=$\frac{HM}{GM}$=2，设GM=m，则HM=2m，
进而得出2m=2-m，解得m=$\frac{2}{3}$，得出H的坐标，然后根据勾股定理分别求得AG、GH、OH的值，即可求得AG=GH+OH．

解答 解：∵有理数a，b满足a²+b²+8a-8b+32=0．
∴（a+4）²+（b-4）²=0，
∴a=-4，b=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=4，OB=4，
（1）作DH⊥y轴于H
∵点C（0，1），
∴OC=1，
∴AC=3，
∵点E为线段DC中点，△ADC的面积=3，
∴$\frac{1}{2}$AC•DH=3，
∴DH=2，
作EF⊥y轴于F，
∴EF∥DH，
∵点E为线段DC中点，
∴EF=1，
由A（0，4），B（4，0）的直线AB为y=-x+4，
∴y_E=3，
∴E（1，3），
∴OF=3，
∴EC=2，
∴HF=2，
∴OH=5
∴D（2，5）；
（2）AG=GH+OH；
作HM⊥OB于M，
∵∠BGH=∠AGO，
∴$\frac{OA}{OG}$=$\frac{HM}{GM}$，
∵OA=4，OG=2，
∴$\frac{HM}{GM}$=2，
设GM=m，则HM=2m，
∵OA=OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△HMB是等腰直角三角形，
∴HM=BM=2-m，
∴2m=2-m，解得m=$\frac{2}{3}$，
∴H（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∵A（0，4），G（2，0），
∴AG=2$\sqrt{5}$，GH=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，OH=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，
∴AG=GH+OH．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的中位线定理，直角三角函数，勾股定理的应用以及等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形，求得点的坐标是解题的关键．