Question

11．如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．
（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数；
（2）求证：PD=QD．

Answer 1

分析 （1）作PF∥BC，根据等边三角形的性质就可以得出△PFD≌△QCD，就可以得出PD=QD，进而得出结论；
（2）作PF∥BC交AC于F，先证明△APF是等边三角形，得出AP=AF=PF．证出PF=CQ，由ASA证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等即可．

解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵∠Q=28°，
∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB-∠Q=32°，
∵PE⊥AC，
∴∠PED=90°，
∴∠EPD=90°-∠EDP=58°；
（2）证明：作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
∵CQ=AP，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠CQD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\\{∠PFD=∠QCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴PD=QD．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决（2）的关键．