Question

如图，△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．以点H为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）一条抛物线经过D、B、C三点，求这条抛物线的解析式；
（2）猜想：线段BG与CE之间存在数量关系BG=CE吗？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（3）将△DHC进行平移、旋转、翻折（无任何限制），使它与△BDH拼成特殊四边形（面积不变）．则（1）中抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于B、H、D三点的顶点？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．
∵H是BC的中点，∴DH=BH=CH=BC=1．
∴B（-1，0）、C（1，0）．
又∵∠ABC=45゜，∴△BCD是等腰直角三角形，即y轴是BC的中垂线；
∴点D在y轴上，即D（0，1）．
设过B、C、D三点的抛物线解析式为 y=a（x+1）（x-1），则有：
1=a（0+1）（0-1），解得 a=-1；
∴抛物线的解析式为 y=-x²+1．

（2）线段BG与CE之间存在数量关系BG=CE．
证明：连接CG．
∵H是BC的中点，DH⊥BC，∴CG=BG，∴∠GCB=∠GBC．
∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE平分∠ABC．
又∵∠ABC=45゜，
∴∠GCB=∠BGC=22.5゜．
∴∠CGE=∠GCB+∠GBC=45゜．
∵BE⊥AC，
∴CG===CE．
∴BG=CE．

（3）不存在符合条件的点P，理由：
∵将△DHC平移、旋转、翻折（次数不限）后的三角形与△BDH能拼成特殊四边形，
∴拼成的特殊四边形除D、H、C三点外的第四个顶点的坐标只能是（1，1）或（-1，1）或（-1，-1）．
经检验，点（1，1）、（-1，-1）、（-1，1）均不在（1）的抛物线y=-x²+1上，故不存在符合条件的点P．
分析：（1）欲求抛物线的解析式，需明确B、C、D三点的坐标；已知BC的长，且H是BC的中点，则B、C的坐标可求．在Rt△BDC中，∠DBC=45゜，很显然该三角形是等腰直角三角形，则DH=BH=HC，由此求得点D的坐标，再利用待定系数法即可得出抛物线的解析式．
（2）由（1）知：△BDC是等腰直角三角形，即y轴正好是BC的垂直平分线，那么BG=GC，若连接GC，那么∠EGC=2∠EBC．由题意，在等腰△ABC中，BE⊥AC，显然BE是∠ABC的平分线，那么可得到的条件：∠EGC=∠ABC=45゜，在等腰Rt△EGC中，易得CG、CE的数量关系，而BG=GC，由此得解．
（3）若与△BDH拼成特殊四边形（面积不变），那么点P应该位于第一、二、三象限，且得到的特殊四边形为：正方形（BD、CD重合）、平行四边形（CH、BH重合或CH、HD重合），先求出这些点的坐标，然后代入抛物线中进行验证即可．
点评：该题涉及了二次函数解析式的确定，特殊三角形、特殊四边形的判定和性质等重点知识．在解题时，应注重数形结合的数学思想．