Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T （x，y）是点D和E的融合点．

（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为　 　；

（2）求点T （x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：

（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）y＝x﹣；（3）E的坐标为（，）或（6，8）

【解析】

（1）把点E的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E的坐标，根据融合点的定义求求解即可；
（2）设点E的坐标为（a，a+2），根据融合点的定义用a表示出x、y，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．

解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，

∴x+2＝6，

解得，x＝4，

∴点E的坐标是（4，6），

∵点T （x，y）是点D和E的融合点，

∴x＝＝，y＝＝2，

∴点T的坐标为（，2），

故答案为：（，2）；

（2）设点E的坐标为（a，a+2），

∵点T （x，y）是点D和E的融合点，

∴x＝，y＝，

解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，

∴3x﹣3＝3y﹣2，

整理得，y＝x﹣；

（3）设点E的坐标为（a，a+2），

则点T的坐标为（，），

当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，

∴＝a，

解得，a＝，

此时点E的坐标为（，），

当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，

∴＝3，

解得，a＝6，

此时点E的坐标为（6，8），

当∠DTH＝90°时，该情况不存在，

综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）