Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=-3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB的面积是5.5，且CQ：AO=1：2，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{11}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

Answer 1

分析 已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标；先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根据S_{四边形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ，列式求出m与n的值，得出点P的坐标；根据图形以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，求出满足题意D₁，D₂，D₃的坐标．

解答 解：在直线y=x+m中，令y=0，得x=-m，
∴点A（-m，0），
在直线y=-3x+n中，令y=0，得x=$\frac{n}{3}$，
∴点B（$\frac{n}{3}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-3x+n}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{n-m}{4}}\\{y=\frac{n+3m}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P（$\frac{n-m}{4}$，$\frac{n+3m}{4}$），
∵CQ：AO=1：2，
∴（n-m）：m=1：2，
整理得3m=2n，
∴n=$\frac{3}{2}$m，
∴$\frac{n+3m}{4}$=$\frac{\frac{3}{2}m+3m}{4}$=$\frac{9}{8}$m，
由题意得：S_{四边形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ=$\frac{1}{2}$（$\frac{n}{3}$+m）×（$\frac{9}{8}$m）-$\frac{1}{2}$×m×m=$\frac{11}{32}$m²=5.5，
解得：m=±4，
∵m＞0，
∴m=4，
∴n=$\frac{3}{2}$m=6，
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D₁，过点A作BP的平行线交PM于点D₂，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D₃．
①∵PD₁∥AB且BD₁∥AP，
∴PABD₁是平行四边形．此时PD₁=AB，易得D₁（$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
②∵PD₂∥AB且AD₂∥BP，
∴PBAD₂是平行四边形．此时PD₂=AB，易得D₂（-$\frac{11}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
③∵BD₃∥AP且AD₃∥BP，此时BPAD₃是平行四边形．
∵BD₃∥AP且B（2，O），
∴y_BD3=x-2．同理可得y_AD3=-3x-12，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-3x-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴D₃（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．
故答案为：（$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{11}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{2}$）

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数图象的交点，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．