Question

【题目】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD

（1）求证：BE=AD；

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角形吗?并说明理由

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用已知条件证明△BAD≌△CBE(ASA)，根据全等三角形的对应边相等即可得到结论；

（2）证明AD=AE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；

（3）由△DAB≌△EBC，得到DB=EC，又由△AEC≌△ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．

试题解析：解： (1)∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．又∵∠ABC＝∠DAB＝90°， AB＝BC，∴△BAD≌△CBE(ASA)，∴BE＝AD；

(2) ∵E是AB的中点，∴EB＝EA．由(1)得AD＝BE，∴AE＝AD．又∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°．∵∠BAC＝45°，∴∠DAC＝∠CAB，∴EM＝MD， AM⊥DE，即AC是线段ED的垂直平分线．

(3) △DBC是等腰三角形．

理由：由(2)得CD＝CE，由(1)得CE＝BD，∴CD＝BD，∴△DBC是等腰三角形．