Question

已知等边三角形ABC边长为2，D、E分别为AC、BC的中点，则下列四个结论：
①DE=1；②AB边上的高为；③tan∠CDE=；④△CDE的面积与四边形ABED面积之比为1：4．
其中正确结论的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：先根据题意，画出图形，利用三角形中位线定理，可得DE=1，判断①正确；
作AB边的高CF，利用三角函数求出CF等于，判断②正确；
先由中位线定理得出DE∥BC，∠CDE=∠A=60°，由tan60°=判断③正确；
由DE∥AB，可得△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4，进而求出△CDE的面积与四边形ABED面积之比为1：3，判断④错误．
解答：解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=1，故①正确；
作AB边的高CF，则∠AFC=90°，CF=AC×sinA=2×=，故②正确；
∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠A=60°，∴tan∠CDE=tan60°=，故③正确；
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S_△CDE：S_△CAB=DE²：AB²=1：4，∴S_△CDE：S_{四边形ABED}=1：3，故④错误．
故选C．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似；
相似三角形的面积比等于相似比比的平方．