Question

3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交CA的延长线于E．
（1）求证：OC²=OA•OE；
（2）若BD=6，OE=13，求OA、AE的值？

Answer 1

分析 （1）由平行线分线段成比例可得对应线段成比例，进而通过线段之间的转化即可得出结论；
（2）根据等腰梯形的性质得到AC=BD=6，设OA=x，则OC=6-x，由（1）知，OC²=OA•OE，列方程即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$，
又∵BE∥CD，∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OC}{OE}$，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OE}$，
即OC²=OA•OE；

（2）等腰梯形ABCD中，
∵AC=BD=6，
设OA=x，则OC=6-x，
中（1）知，OC²=OA•OE，
∴（6-x）²=13x，
解得：x=$\frac{25+\sqrt{481}}{2}$（不合题意，舍去），x=$\frac{25-\sqrt{481}}{2}$，
∴OA=$\frac{25-\sqrt{481}}{2}$，AE=OE-OA=$\frac{\sqrt{481}+1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形的性质．关键是由平行线得相似三角形和相等的比．