Question

3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出对角线BD，证明△BEP是等腰直角三角形，得出PE=BE，再证明四边形OEPF是矩形，得出PF=OE，得出PE+PF=BE+OE=OB即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，∠CBO=∠BCO=45°，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∠BOC=90°，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴∠OEP=∠OFP=90°=∠EOF，△BEP是等腰直角三角形，
∴四边形OEPF是矩形，PE=BE，
∴PF=OE，
∴PE+PF=BE+OE=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．