【题目】如图,点O是平面直角坐标系的原点,点A(,3),AC⊥OA与x轴的交点为C.动点M以每秒个单位长度由点A向点O运动.同时,动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动,当一动点先到终点时,另一动点立即停止运动.
(1)写出∠AOC的值;
(2)用t表示出四边形AMNC的面积;
(3)求点P的坐标,使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形?
【答案】(1)30°;(2);(3).
【解析】
(1)如图1中,作AH⊥OC于H.在Rt△AOH中,解直角三角形求出∠AOH即可解决问题.
(2)作MK⊥BC于K.根据S四边形AMNC=S△OAC﹣S△OMN,计算即可.
(3)分别考虑以OM,ON,MN为平行四边形的对角线,利用平行四边形的性质求解即可.
解:(1)如图1中,作AH⊥OC于H.
∵A(,3),
∴OH=,AH=3,
∴tan∠AOH==,
∴∠AOH=60°,
∵OA⊥AC,
∴∠OAC=90°,
∴∠ACO=30°.
(2)作MK⊥BC于K.
在Rt△AOH中,∵OH=,∠OAH=30°,
∴OA=2OH=2,
在Rt△AOC中,∵∠AOC=30°,OA=2,
∴AC=OA=6,
∵OM=t,
∴MK=OMsin60°=t,
∴S四边形AMNC=S△OAC﹣S△OMN
=OAAC﹣ONMKa
=×2×6﹣×3t×t
=6﹣t2(0<t<2).
(3)当四边形CNMP1是平行四边形时,P1(t﹣3t,t).
当四边形ONP2M是平行四边形时,P2(t+3t,t).
当四边形OMNP3是平行四边形时,P3(3t﹣t,﹣t).
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【题目】如图,在中,,以为直径的⊙分别交于点,交的延长线于点,过点作,垂足为点,连接,交于点.
(1)求证:是⊙的切线;
(2)若⊙的半径为4,①当时,求的长(结果保留π);②当时,求线段的长.
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【题目】从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时,经过两次提速后平均速度为217.8干米/时,这两次提速的百分率相同.
(1)求该火车每次提速的百分率;
(2)填空:若沈阳到大连的铁路长396千米,则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了 小时.
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【题目】如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点,AB=24,BC=5,给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积的最大值为144;③当OD最大时,点D的坐标为,其中正确的结论是_________(填写序号).
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【题目】 如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)用尺规作图法在AC边上找一点D,使得BD=BC(保留作图痕迹,不要求写作法):
(2)若∠A=30°,求∠ABD的大小.
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【题目】某数学兴趣小组的同学在一次活动中,为了测量某建筑物AB的高,他们来到另一建筑物CD上的点C处进行观察,如图所示,他们测得建筑物AB顶部A的仰角为30°,底部B的俯角为45°,已知建筑物AB、CD的距离DB为12m,求建筑物AB的高.
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【题目】某校每学期都要对优秀的学生进行表扬,而每班采取民主投票的方式进行选举,然后把名单报到学校.若每个班级平均分到3位三好生、4位模范生、5位成绩提高奖的名额,且各项均不能兼得、现在学校有30个班级,平均每班50人.
(1)作为一名学生,你恰好能得到荣誉的机会有多大?
(2)作为一名学生,你恰好能当选三好生、模范生的机会有多大?
(3)在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数中,哪些是解决上面两个问题所需要的?
(4)你可以用哪些方法来模拟实验?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点A(0,4),B(﹣3,0)反比例函数y=(k为常数,k≠0,x>0)的图象经过点D.
(1)填空:k=_____.
(2)已知在y=的图象上有一点N,y轴上有一点M,且四边形ABMN是平行四边形,求点M的坐标.
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【题目】如图,在平面在角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A,B(点A在点B的左侧)交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点E.
(1)连结BD,点M是线段BD上一动点(点M不与端点B,D重合),过点M作MN⊥BD交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧),过点N作NH⊥x轴,垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一动点,当MN取得最大值时,求HF+FP+PC的最小值;
(2)在(1)中,当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时,把点P向上平移个单位得到点Q,连结AQ,把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度(0°<<360°),得到△AOQ,其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中,是否存在一点G使得?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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