【题目】如图 1,二次函数的图像过点 A (3,0),B (0,4)两点,动点 P 从 A 出发,在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,过点P作 PD⊥y 于点 D ,交抛物线于点 C .设运动时间为 t (秒).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接 BC ,当t=时,求△BCP的面积;
(3)如图 2,动点 P 从 A 出发时,动点 Q 同时从 O 出发,在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1个单位长度的速度运动,当点 P 与 B 重合时,P 、 Q 两点同时停止运动,连接 DQ 、 PQ ,将△DPQ沿直线 PC 折叠到 △DPE .在运动过程中,设 △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S ,直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.
【答案】(1);(2)4;(3).
【解析】
试题分析:(1)直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可;
(2)如图1,要想求△BCP的面积,必须求对应的底和高,即PC和BD;先求OD,再求BD,PC是利用点P和点C的横坐标求出,要注意符号;
(3)分两种情况讨论:①△DPE完全在△OAB中时,即当时,如图2所示,重合部分的面积为S就是△DPE的面积;②△DPE有一部分在△OAB中时,当时,如图4所示,△PDN就是重合部分的面积S.
试题解析:(1)把A(3,0),B(0,4)代入中得:
,解得:,∴解析式为:;
(2)如图1,当时,AP=2t,∵PC∥x轴,∴,∴,∴OD===,当y=时,=,,解得:,,∴C(﹣1,),由,得,则PD=2,∴S△BCP=×PC×BD==4;
(3)分两种情况讨论:①如图3,当点E在AB上时,由(2)得OD=QM=ME=,∴EQ=,由折叠得:EQ⊥PD,则EQ∥y轴,∴,∴,∴t=,同理得:PD=,∴当时,S=S△PDQ=×PD×MQ=,;
②当时,如图4,P′D′=,点Q与点E关于直线P′C′对称,则Q(t,0)、E(t,),∵AB的解析式为:,D′E的解析式为:,则交点N(,),∴S=S△P′D′N=×P′D′×FN=,∴.
综上所述:.
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【题目】如图,直线a∥b,△ABC是等边三角形,点A在直线a上,边BC在直线b上,把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如图①);继续以上的平移得到图②,再继续以上的平移得到图③,…;请问在第100个图形中等边三角形的个数是 .
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
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【题目】已知抛物线(m为常数,﹣1≤m≤4).A(﹣m﹣1,),B(,),C(﹣m,)是该抛物线上不同的三点,现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a,过抛物线顶点P作PH⊥a于H.
(1)用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标;
(2)若无论m取何值,抛物线与直线y=x﹣km(k为常数)有且仅有一个公共点,求k的值;
(3)当1<PH≤6时,试比较,,之间的大小.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若△AEP是等边三角形,连结BP,求证:△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.
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【题目】在一次数学活动课上,老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB,CD,并说出自己做法的依据.小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下:
小琛说:“我的做法的依据是内错角相等,两直线平行.”
小萱做法的依据是 .
小冉做法的依据是 .
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.“步行至十字路口,正好是红灯”是必然事件
B.一组数据的波动越大,方差越小
C.315期间,了解某种产品的质量问题,宜采用抽样调查数据
D.1,1,6,3,5,4,5的中位数是3
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