Question

2．直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M，过M作MN⊥x轴于点H，OA=2HO．
（1）求k值．
（2）点N（a，1）是图象上另一个点，在x轴上是否存在点P使得△PMN周长最小？若存在，求出P点坐标和PM+PN的长；若不存在，请说明理由．
（3）求出S_△AMN．

Answer 1

分析 （1）先由直线y=2x+2与y轴交于A点，求出A点坐标为（0，2），OA=2，根据OA=2OH，得出OH=1．由MH⊥x轴可知M点横坐标为1，而点M在直线y=2x+2上，所以当x=1时，y=2×1+2=4，即M（1，4），再将点M的坐标代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）先由点N（a，1）是反比例函y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上的点，求出a=4，即点N（4，1）．再作N关于x轴的对称点N′，连结MN′，交x轴于点P，此时PM+PN最小．根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出点N′（4，-1），利用待定系数法求出直线MN′的解析式，再令y=0，求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）连接AN，先用待定系数法求出直线AN的解析式，进而可得出E点坐标，利用S_△AMN=S_△AEM+S_△MNE即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=2x+2与y轴交于A点，
∴A点坐标为（0，2），OA=2，
∵OA=2OH，
∴OH=1．
∵MH⊥x轴，
∴M点横坐标为1，
∵点M在直线y=2x+2上，
∴当x=1时，y=2×1+2=4，
∴M（1，4），
∵点M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1×4=4；

（2）存在．
∵点N（a，1）是反比例函y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上的点，
∴a=4，即点N（4，1）．
作N关于x轴的对称点N′，连结MN′，交x轴于点P，此时PM+PN最小．
∵N与N′关于x轴，点N（4，1），
∴点N′（4，-1）．
设直线MN′的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}m+n=4\\ 4m+n=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{5}{3}\\ n=\frac{17}{3}\end{array}\right.$，
∴直线MN′的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
令y=0，得x=$\frac{17}{5}$，
∴点P的坐标为（$\frac{17}{5}$，0）；

（3）连接AN，设直线AN的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，2），N（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 4k+b=1\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{4}$，
∴直线AN的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+2．
∵M（1，4），
∴E（1，$\frac{7}{4}$），
∴ME=4-$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴S_△AMN=S_△AEM+S_△MNE=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×（4-1）=$\frac{9}{8}$+$\frac{27}{8}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及轴对称的性质．